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Massimo trasferimento di energia

In questa sezione vogliamo calcolare sotto quali condizioni, in un urto perfettamente elastico, si ha il massimo trasferimento di energia fra un proiettile ed un bersaglio fermo ($v_2 = 0$). L'energia cinetica iniziale del proiettile è $E_1 = \frac{1}{2} m_1v^2_1$, mentre quelle finali di proiettile e bersaglio sono ${E'}_1 = \frac{1}{2}m_1{v'}^2_1$ ed ${E'}_2 = \frac{1}{2}m_2{v'}^2_2$. La variazione percentuale dell'energia iniziale è:

\begin{displaymath}
\eta = \frac{E_1 - {E'}_1}{E_1}
= 1 - \frac{{E'}_1}{E_1} = 1 - \frac{{v'}^2_1}{v^2_1}
\end{displaymath}

Siccome l'urto è elastico, la quantità di energia persa dal primo corpo è quella guadagnata dal secondo. Quindi il massimo trasferimento di energia si ottiene per il massimo valore di $\eta$. Ricordando l'espressione ${v'}_1 = \frac{m_1 - m_2}{M} v_1$, valida nel caso $v_2 = 0$, otteniamo:

\begin{displaymath}
\eta = 1 - \left( \frac{m_1-m_2}{M} \right)^2
= \frac{4m_1m_2}{M^2}
\end{displaymath}

Deriviamo $\eta$ rispetto alla massa del proiettile per cercarne il valore massimo:

\begin{displaymath}
\frac{d\eta}{dm_1} = \frac{d}{dm_1} \left( \frac{4m_1m_2}{M...
...t)
= \frac{4m^2_2 - 4m_1m_2}{M^3} = 4m_2\frac{m_2 - m_1}{M^3}
\end{displaymath}

Imponendo la derivata uguale a zero scopriamo che il massimo trasferimento di energia si ha quando le due masse $m_1$ ed $m_2$ sono uguali:

\begin{displaymath}
\frac{d\eta}{dm_1} = 0 \quad\quad \Rightarrow \quad\quad
4...
...2 - m_1}{M^3} = 0
\quad\quad \Rightarrow \quad\quad m_1 = m_2
\end{displaymath}



Stefano Bettelli 2002-04-21