Un sistema di riferimento solidale ad una navicella spaziale che orbita in un campo gravitazionale si comporta come un sistema di riferimento inerziale!

Una navicella spaziale di massa mn orbita attorno alla Terra con accelerazione angolare an a distanza r. Nella navicella si trova un pendolo costituito da un filo inestensibile e di massa trascurabile alla cui estremità è legata una massa m.  
Si determini la tensione del filo.

Eseguire il calcolo sia da osservatore inerziale solidale alla Terra che da osservatore solidale alla navicella.

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Soluzione:

a)       Osservatore inerziale solidale alla Terra

 La massa m si muove sull'orbita di raggio r con accelerazione an sotto l'azione della tensione T del filo e della forza peso P dovuta all'attrazione terrestre.

La forza peso P è:

             (1)

dove G è la costante gravitazionale, M la massa della Terra ed  è il versore che indica la direzione radiale.

L'osservatore inerziale applica la seconda legge della dinamica:

                   (2)

L'accelerazione an della navicella è:

                    (3)

dove:

               (4)

rappresenta la forza peso della navicella. Sostituendo la (4) nella (3) si trova:

               (5)

Sostituendo P (eq. 1) ed an (eq. 5) nell'eq. 2, si ha:

da cui si ricava che

 b)       Osservatore non inerziale solidale alla navicella.

 Per questo osservatore la massa m è ferma. Egli è conscio di essere in un sistema di riferimento non inerziale e di non poter applicare la seconda equazione di Newton. Per descrivere l'equilibrio della massa m egli assume che essa, oltre alla forza peso P e alla tensione del filo T, è anche soggetta alla forza inerziale Fin:

L'equazione che descrive l'equilibrio della massa m è:

ossia:

        (6)

poiché la massa m è soggetta alla stessa accelerazione an della navicella, dal momento che il pendolo orbita attorno alla Terra come la navicella, si ha che:

  .

Sostituendo P nella (6) si ha:

da cui risulta ancora una volta

.

 In conclusione non c'è bisogno del filo per tenere appesa la massa m! Essa rimane ferma ovunque venga posta a riposo all'interno della navicella. Osserviamo così che, nonostante la navicella spaziale sia accelerata, in essa vale il principio d'inerzia secondo cui una massa conserva il proprio stato di moto sino a quando non intervengano forze che modifichino tale stato.
La navicella in caduta libera verso la Terra (l'orbitare è un continuo cadere) si comporta così come un sistema di riferimento inerziale!