Moto di un razzo al di fuori dell’atmosfera

Studio del moto dei razzi e delle navicelle spaziali al di fuori dell'atmosfera.Ipotesi: il razzo si muove senza subire l’influenza di forze esterne.
Nello spazio libero il moto del razzo, come pure quello di una navicella spaziale, dipende esclusivamente dalla energia che è capace di liberare. Il razzo può muoversi grazie alla reazione provocata dall’espulsione ad alta velocità di gas combusti. Il razzo e i gas espulsi costituiscono un sistema isolato. Per il principio di conservazione della quantità di moto, il razzo aumenta la propria quantità di moto di un valore pari a quello dei gas eietti.

Indicando con v(t) la velocità del razzo all’istante t, con v+dv la sua velocità all’istante t+dt, e con dm’ la massa del gas espulso nell’intervallo di tempo dt a velocità costante u relativa ala razzo,determiniamo v(t) in funzione della massa m del razzo e della velocità del razzo, v₀, nel momento in cui vengono accesi i motori. La massa del razzo in questo istante sia m₀.

La quantità di moto del razzo all’istante t, per un osservatore fermo è:

La quantità di moto del sistema razzo – gas espulso è:

dove indica la quantità di moto del razzo e quella del gas espulso al tempo t+dt.

Per l’osservatore fermo:

dove m-dm’ è la massa del razzo dopo l’espulsione della una massa di gas dm’. Osserviamo sin d’ora che, indicando con m(t+dt) ed m(t) la massa del razzo rispettivamente all'istante t+dt ed all'istante t:

Rispetto al razzo il gas ha quantità di moto:

e, rispetto all’osservatore fermo:

essendo la velocità di eiezione dei gas rispetto all’osservatore fermo.

La quantità di moto del sistema razzo – gas espulso è pertanto:

Il sistema razzo – gas espulso è un sistema isolato perché, essendo al di fuori dell’atmosfera, la forza esterna esercitata su di esso dalla Terra o da altri corpi celesti è trascurabile. È valido, allora, il principio di conservazione della quantità di moto:

Cioè a dire:

Proiettando i vettori nella direzione del moto si ha:

e operando i prodotti si ottiene:

e quindi:

Ora, ricordando che:

sostituendo, si ha:

dividendo per m ed integrando fra l’istante in cui la velocità del razzo è v₀e la sua massa è m₀ ed il generico istante in cui la velocità è v  e la massa m, si trova:

che da’:

essendo m₀ < m risulta che, nel tempo, la velocità del razzo aumenta.
Per massimizzare la velocità del razzo occorre massimizzare la velocità dei gas combusti espulsi ed il rapporto m₀/m. La velocità limite è legata al rapporto m₀/ms dove m_s rappresenta la massa del serbatoio di carburante vuoto.
Utilizzando razzi a più stadi è possibile raggiungere velocità limiti maggiori espellendo di,  volta in volta, i serbatoi quando questi sono vuoti.