Espressioni matematiche equivalenti  per esprimere il moto armonico semplice

Esistono diverse forme, equivalenti ed alternative, per esprimere la legge oraria di un moto oscillatorio armonico semplice; ciascuna ha i suoi propri vantaggi. A seconda dell'occorrenza si privilegia una o l'altra.

FORMA 1

La prima forma è la:

che può essere espressa, in modo del tutto equivalente, in funzione del seno, come:

Questa forma differisce dall'eq. 1 per un una differenza nella fase iniziale di rad: aggiungendo alla fase dell'equ. 1  si ottiene l'eq. 1*

FORMA 2

La seconda forma è una combinazione lineare di una funzione cosinusoidale ed una sinusoidale:

La forma 2 si ricava dalla forma 1 sviluppando l'eq. 1, cioè:

dove e .

FORMA 3

La forma 3 è una combinazione lineare di due funzioni esponenziali complesse; essa può essere espressa anche come:

con C₁ e C₂ costanti complesse dove:

Dimostreremo che C₁ è complesso coniugato di C₂, , ovvero: C₁ = C e C₂ = C*

Prima di tutto vediamo come nasce la forma 3. Essa si ottiene ammettendo che la funzione:

sia soluzione dell'equazione differenziale del moto armonico,

Questo è vero per:

infatti derivando due volte la relazione 3 e sostituendo la derivata seconda nell'equazione 4 assieme alla relazione 3, si ha:

e quindi:

La soluzione generale dell'equazione 3 è una combinazione lineare delle funzioni espresse dalla 2 ponendo :

dove C₁ e C₂ sono due generiche costanti complesse.

Però, così com'è l'eq. 2  non può essere la soluzione dell'equazione differenziale di un oscillatore armonico, per due ragioni:1) perché un numero complesso non può rappresentare uno spostamento fisico che è una quantità espressa da un numero reale, 2) perché la soluzione di un'equazione differenziale del secondo ordine deve contenere due sole costanti di integrazione, corrispondenti alle condizioni iniziali del moto, e non quattro, quante sono le parti reali e immaginarie di C₁ e C₂.

L'eq. 2 rappresenta correttamente la soluzione dell'equazione del moto armonico semplice nella Forma 3 se i due termini a secondo membro dell'eq. 2 sono uno il complesso coniugato dell'altro, cioè:

che equivale a:

e quindi a:

Deve aversi quindi che:

che corrisponde alle uguaglianze:

da cui la forma 3:

FORMA 4

Per mere ragioni di semplicità di calcolo, in Fisica si ricorre spesso alla rappresentazione di una funzione sinusoidale, espressione di uno moto armonico (o di un'onda piana), mediante un esponenziale complesso del tipo

con D costante complessa.

Spesso, esprimendo una grandezza fisica con l'eq. 5 si sottintende che l'interesse è per la sola parte reale

o per il coefficiente della parte immaginaria

,

entrambi numeri reali.

La quarta forma che prendiamo in considerazione è proprio la:

La forma 4 (eq. 6) è una forma molto potente nel trattamento dei moti armonici perché è facile da differenziare e da integrare. Infatti 

.

Alla forma 4 si giunge a partire dalla forma 3,

considerando che x è reale,

e  ponendo:

Equivalenza fra le varie forme

Abbiamo già mostrato l'equivalenza tre la Forma 1 e la 2. Dimostriamo ora l'equivalenza delle forme 3 con la Forma 2.

Equivalenza della forma 3 con la forma 2.

E' facile verificare che la forma 3

coincide con le precedenti forme. Infatti,

dove

Relazioni fra i coefficienti della forma 4 e della forma 2.

Abbiamo visto che la Forma 4 deriva dalla forma 3 ponendo D = 2C. Per concludere ci resta da trovare le relazioni fra i coefficienti della quarta forma e quelli delle forme precedenti.

Nel caso in cui:

, , , e quindi .

Nel caso in cui ,

,      

e quindi , e D è immaginario.