Regime di forte smorzamento

Il regime di forte smorzamento si instaura quando $\gamma > 2\omega_0$; in questo caso le soluzioni del polinomio caratteristico associato all'equazione differenziale del moto sono entrambe reali negative:

$$p_{\pm} = -\frac{1}{2}\gamma \pm \sqrt{\frac{1}{4}\gamma^2 - \omega_0^2} < 0$$

È consuetudine definire $\mu_{\mp}=-p_{\pm}$ così da poter lavorare con quantità positive. Si noti che le $\mu$ sono una maggiore ed una minore di $\omega_0$ e che il loro prodotto vale $\omega_0^2$:

$$\begin{eqnarray*} \mu_+ = \frac{1}{2}\gamma + \sqrt{\frac{1}{4}\gamma^2 - \omeg... ...uremath{\quad\quad \Rightarrow \quad\quad}& \mu_- < \omega_0 \\ \end{eqnarray*}$$

Passiamo ora alla legge del moto; la forma più generale di $x(t)$ è una sovrapposizione di due esponenziali con lunghezze caratteristiche $\mu_+$ e $\mu_-$. I coefficienti devono essere reali per evitare che $x(t)$ sia complesso:

$$x(t) = c_+e^{-\mu_+ t} + c_-e^{-\mu_- t}$$

$c_+$ e $c_-$ sono determinati dalle condizioni iniziali, mentre $\mu_+$ e $\mu_-$ dipendono dalle proprietà fisiche dell'oscillatore. Vi sono a questo punto due casi: se $c_+$ e $c_-$ hanno lo stesso segno, allora $x(t)$ non si annulla mai, quindi il sistema non passa mai per la posizione di equilibrio. Viceversa, se i due coefficienti hanno segno diverso $x(t)$ può annullarsi (quando i due esponenziali si annullano l'un l'altro) ed il sistema può passare per la posizione di equilibrio (una sola volta però). I due casi sono rappresentati nella figura seguente:

Per le condizioni iniziali $x(0)=x_0$ ed $\dot{x}(0)=0$ abbiamo

$$c_+ + c_- = x_0 \ensuremath{\quad\quad \textrm{e} \quad\quad}- (\mu_+c_+ + \mu_-c_-) = 0$$

risolvendo rispetto a $c_+$ e $c_-$ otteniamo infine una soluzione che dipende solo da $\mu_+$ e $\mu_-$ (questo ovviamente viene dal fatto che abbiamo fissato le condizioni iniziali):

$$x(t) = c_+e^{-\mu_+ t} + c_-e^{-\mu_- t} = \frac{-\mu_-x_0... ... x_0 \frac{\mu_+e^{-\mu_- t} - \mu_-e^{-\mu_+ t}}{\mu_+-\mu_-}$$