Forze impulsive ed approssimazione d'impulso

Giuseppe Dalba

In questi appunti vogliamo chiarificare con un esempio numerico che cosa si intende per approssimazione di impulso. Consideriamo una pallina di raggio $R = 2$cm e massa $m = 50$g che viene colpita con una mazza; l'impulso che la mazza trasferisce alla pallina è tale che dopo un breve lasso di tempo la pallina si trova ad avere una velocità pari a $v_0 = 50$m/s con un alzo di $45^{\circ}$ (ovvero la velocità iniziale come quantità vettoriale è $v_0\frac{\hat{x}+\hat{y}}{\sqrt{2}}$). L'impulso trasferito dalla mazza alla pallina si calcola facilmente:

$$I_M = p_f - p_i = mv_0 = 2,5\frac{\textrm{Kg}\cdot\textrm{m}}{\textrm{s}}$$

Per fare un esempio realistico, supponiamo che la deformazione totale della pallina sia pari alla metà del suo raggio, ovvero $d\sim R/2 = 1$cm. La velocità con cui avviene questa deformazione può essere dell'ordine di $v_d = 25$m/s. Allora il tempo necessario alla mazza per deformare la pallina, e quindi per cederle l'impulso che abbiamo calcolato prima, è:

$$\tau = \frac{d}{v_d} = 4\cdot 10^{-4}\textrm{s}$$

Quindi, la forza media esercitata dalla mazza sulla pallina nel lasso di tempo $\tau$ risulta:

$$\langle F_M \rangle = \frac{I_M}{\tau} \sim 6,3\times 10^3\textrm{N}$$

Dopo che la pallina è stata lanciata, essa si muove sotto il solo effetto del campo gravitazionale. Calcoliamo il tempo necessario affinchè ritorni all'altezza da cui è stata lanciata:

$$t = \frac{2v_0 \sin\alpha}{g} \sim 7\textrm{s}$$

Mentre la pallina è in aria, il campo gravitazionale continua a trasferirle impulso. La quantità trasferita mentre la pallina è in volo risulta essere:

$$I_P = \vert \vec{p}_f - \vec{p}_i \vert = m \vert \vec{v}_... ...ha = 2,5\sqrt{2}\frac{\textrm{Kg}\cdot\textrm{m}}{\textrm{s}}$$

Vediamo allora che gli impulsi trasferiti dalla mazza e dal campo gravitazionale alla pallina sono confrontabili; quello che varia fortemente è il tempo durante il quale le forze hanno agito per trasferire questo impulso ($10^{-4}$ secondi la mazza, circa $7$ secondi la forza peso). Di conseguenza, la forza media esercitata dal campo gravitazionale è stata molto minore; questa forza, il peso, è costante e pari in modulo a circa $0,5\textrm{N}$, valore da confrontarsi con $\langle F \rangle$ dell'ordine di $10^4$N.

Il grafico mostra dunque che durante il tempo $\tau$ l'effetto della forza peso è trascurabile rispetto a quello della mazza. L'approssimazione di impulso prescrive di separare, come abbiamo fatto in questo esempio, il moto in due parti distinte: nella prima parte, da $t=0$ a $t=\tau$, si considera solo l'effetto di $\langle F \rangle$, nella seconda parte, per $t>\tau$, solo l'effetto della forza peso.