Molecole ioniche

Giuseppe Dalba

In questi appunti vogliamo valutare la frequenza di vibrazione per una molecola ionica come quella dell'acido cloridrico ($HCl$). Per fare questo è necessario conoscere la forma del potenziale $V(r)$ di attrazione fra i due atomi di questa molecola, mostrato in figura. Il potenziale è dato dalla somma di una attrazione coulombiana e di una repulsione che si manifesta a piccole distanze.

$$V(r) = - \underbrace{\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0r}} _{\p... ... _{\parbox[c]{4em}{\centering \mbox{Forza} \mbox{repulsiva}}}$$ $$\frac{dV}{dr} = +\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0r^2} - 9 \frac{B}{r^{10}}$$

Chiamiamo $R$ la distanza per cui il potenziale è minimo, ovvero $0=\frac{dV}{dr}\vert _{r=R}$, e determiniamo il parametro libero $B$ in funzione di $R$:

$$0 = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0R^2} - \frac{9B}{R^{10}} \... ...\Rightarrow \quad\quad} B = \frac{e^2}{36 \pi\varepsilon_0}R^8$$

Per piccoli spostamenti attorno a questa posizione di equilibrio ovviamente il sistema si comporta come un oscillatore armonico, la cui costante elastica è $k = \left( \frac{d^2V}{dr^2} \right)_{r=R}$:

$$\frac{d^2V}{dr^2} = - \frac{e^2}{2\pi\varepsilon_0 R^3} + ... ...repsilon_0 R^3} = \frac{1,84\times10^{-27}}{R^3}\textrm{Nm}^2$$

dove nell'ultima espressione $R$ si intende misurato in metri. Quindi vediamo che $k$ dipende solamente dalla lunghezza di legame della molecola, $R$, che si può dedurre da misure sullo spettro rotazionale. Per $HCl$ si ottiene questo valore:

$$R = 1,3\textrm{\AA} \quad\quad\quad k = 840\textrm{N/m}$$

La costante elastica di legame ionico (fra il Cl$^{-}$ ed il H$^{+}$) non è quindi qualcosa di fuori dall'ordinario. Per ricavare la frequenza di vibrazione dobbiamo calcolare la massa ridotta del sistema, tenendo presente che $m_{Cl} \sim 35 m_H$ e che la massa dell'idrogeno è $m_H = 1,67\times10^{-27}$Kg:

$$\mu = \frac{m_H m_{Cl}}{m_H + m_{Cl}} = \frac{35}{36}m_H \... ...rac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{\mu}} = 1,1\times10^{14}\textrm{Hz}$$

Dunque, siccome la molecola di $HCl$ ha un momento di dipolo elettrico che varia con la sua lunghezza $r$, dovremmo attenderci che quando vibra emetta luce a circa $10^{14}$Hz, che si trova nella regione infrarossa dello spettro.