La formula di Stirling

Giuseppe Dalba

In questi appunti vogliamo dimostrare la cosidetta formula di Stirling, che afferma $\ln N! \sim N(\ln N - 1)$, dove $N!$ è il fattoriale di $N$, ovvero il prodotto dei numeri interi da $1$ ad $N$. Cominciamo col vedere che il logaritmo del fattoriale si può scrivere come la somma dei logaritmi degli interi da $1$ ad $N$:

$$\ln N! = \ln [ N (N-1) (N-2) (N-3) \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1 ] =$$

$$= \ln N + \ln (N-1) + \ln (N-2) + \ln (N-3) + \cdots + \ln 3 + \ln 2 + \ln 1$$

La sommatoria corrisponde all'area della superficie tratteggiata in figura (per il caso $N=5$). La nostra strategia sarà di approssimare questa figura con delle curve continue e di utilizzare l'integrazione delle curve per avere una stima dell'area. Notiamo che nell'intervallo $[1,N]$ le curve $\ln(x+1)$ e $\ln x$ sono sempre in valore superiori o inferiori rispettivamente alla figura tratteggiata:

Possiamo allora concludere che gli integrali di queste curve fra $1$ ed $N$ sono dei limiti superiori ed inferiori alla nostra sommatoria:

$$A = \int_1^N \ln x\,dx \leq \ln N! \leq \int_1^N \ln (x+1)\,dx = B$$

Gli integrali si possono facilmente risolvere per parti. Infatti $\int_a^b \ln x\,dx = \left[ x\ln x - x \right]_a^b$, quindi:

$$\begin{eqnarray*} A = \int_1^N \ln x\,dx = \left[ x\ln x - x \right]_1^N = N\... ...y\ln y - y \right]_2^{N+1} = (N+1)\ln(N+1) - (N+1) - 2\ln 2 + 2 \end{eqnarray*}$$

sia $A$ che $B$ valgono dunque $N(\ln N - 1)$ a meno di termini che diventano infinitesimi rispetto ad $N$ quando $N \gg 1$. In termini più formali:

$$\lim_{N \to \infty} \frac{A - N(\ln N - 1)}{N} = \lim_{N \... ...quad\quad \Rightarrow \quad\quad} \ln N! = N(\ln N - 1 + o(N))$$