Il teorema del viriale

Giuseppe Dalba

In questi appunti dimostriamo il cosidetto ``teorema del viriale'', ovvero una relazione che lega il valor medio dell'energia cinetica e dell'energia potenziale per sistemi che si muovono in una porzione limitata dello spazio. Cominciamo con il caso semplice di una sola particella di massa $m$, individuata dal vettore posizione $\vec{r}$, soggetta ad una forza conservativa $\vec{F}$. Indicheremo con $T$ la sua energia cinetica. Definiamo la quantità scalare $A = m \vec{v} \cdot \vec{r}$ e calcoliamo la sua derivata rispetto al tempo:

$$\frac{dA}{dt} = m \frac{d\vec{v}}{dt} \cdot \vec{r} + m\ve... ...{dt} = m\vec{a}\cdot\vec{r} + mv^2 = \vec{F}\cdot\vec{r} + 2T$$

Se il moto della particella è limitato nello spazio, $\vec{v}\cdot\vec{r}$ e quindi $A$ rimangono pure limitati (ricordiamo che la forza è conservativa, quindi $T$ e di conseguenza $v^2$ sono limitate dall'energia totale della particella). Pertanto, la media temporale della derivata di $A$ deve tendere a zero:

$$\ensuremath{\left\langle \frac{dA}{dt} \right\rangle} = \li... ...dA = \lim_{\tau \to \infty} \frac {A(\tau) - A(0)}{\tau} = 0$$

Utilizzando questo fatto e prendendo la media temporale della espressione precedente troviamo una relazione fra la media di $T$ e la media di $\vec{F}\cdot\vec{r}$:

$$0 = \ensuremath{\left\langle \frac{dA}{dt} \right\rangle} =... ...}{2}\ensuremath{\left\langle \vec{F}\cdot\vec{r} \right\rangle}$$

La quantità che uguaglia $\ensuremath{\left\langle T \right\rangle}$ nell'espressione precedente viene detta viriale della particella. Se $\vec{F}$ è una forza centrale conservativa possiamo riscrivere la relazione fra $T$ e $\vec{F}$ come una relazione fra $T$ ed il potenziale $U(r)$; infatti la forza diventa semplicemente $\vec{F} = -\hat{r}\frac{dU}{dr}$:

$$\vec{F}\cdot\vec{r} = - \hat{r}\frac{dU}{dr} \cdot r\hat{r... ...ac{1}{2} \ensuremath{\left\langle r\frac{dU}{dr} \right\rangle}$$

Se $U$ è un potenziale coulombiano attrattivo (ovvero $U(r) = -\frac{k}{r}$ con $k>0$) otteniamo:

$$\ensuremath{\left\langle T \right\rangle} = \frac{1}{2} \en... ...le} = -\frac{1}{2} \ensuremath{\left\langle U(r) \right\rangle}$$

Abbiamo quindi ottenuto una relazione fra la media temporale dell'energia cinetica e la media temporale dell'energia potenziale della particella. Passiamo ora al caso di un gran numero di particelle; la $i$-esima particella sarà caratterizzata dalla massa $m_i$ e dalla posizione $\vec{r}_i$, e sarà soggetta alla risultante delle forze esterne $\vec{F}_i^{(e)}$ ed alle forze interne $\vec{F}_{ij}$ ($j$ in questo caso indicizza una qualsiasi altra particella diversa dalla $i$-esima). Di nuovo, definiamo la quantità:

$$A = \sum_i m_i\vec{v}_i\cdot\vec{r}_i$$

La derivata di $A$ rispetto al tempo ora diventa:

$$\frac{dA}{dt} = \sum_i \left( m_i\frac{d\vec{v}_i}{dt}\cdo... ...right) = \sum_i \left( \vec{F}_i\cdot\vec{r}_i + 2T_i \right)$$

dove $\vec{F}_i = \vec{F}_i^{(e)} + \sum_{j\neq i} \vec{F}_{ij}$ è la forza totale agente sulla $i$-esima particella (la risultante di tutte le forze esterne applicate alla particella $i$-esima e di tutte le forze interne fra questa particella ed un'altra particella del sistema) e $T_i$ è l'energia cinetica di questa particella. Sostituendo la definizione di $\vec{F}_i$ otteniamo:

$$\frac{dA}{dt} = \sum_i \left( \vec{F}_i^{(e)}\cdot\vec{r}_i + 2T_i \right) + \sum_{i\neq j} \vec{F}_{ij}\cdot\vec{r}_i$$

Ma le forze interne obbediscono al terzo principio della dinamica, ovvero $\vec{F}_{ij}=-\vec{F}_{ji}$, per cui i termini della ultima sommatoria si possono raggruppare a due a due:

$$\vec{F}_{ij}\cdot\vec{r}_i + \vec{F}_{ji}\cdot\vec{r}_j = ... ...ec{r}_i - \vec{r}_j \right) = \vec{F}_{ij} \cdot \vec{r}_{ij}$$

dove abbiamo introdotto la posizione relativa $\vec{r}_{ij} = \vec{r}_i - \vec{r}_j$. Mettendo tutto assieme, ed introducendo l'energia cinetica totale del sistema $T=\sum_i T_i$, arriviamo ad una espressione relativamente semplice per la derivata di $A$:

$$\frac{dA}{dt} = \sum_i \vec{F}_i^{(e)}\cdot\vec{r}_i + \sum_{i < j} \vec{F}_{ij}\cdot\vec{r}_{ij} + 2T$$

In maniera identica a prima si dimostra che la media temporale della derivata di $A$ si annulla quando il moto di tutte le particelle del sistema è limitato nello spazio, quindi possiamo scrivere:

$$\ensuremath{\left\langle T \right\rangle}= -\frac{1}{2} \en... ..._i + \sum_{i < j} \vec{F}_{ij}\cdot\vec{r}_{ij} \right\rangle}$$

Questo è il teorema del viriale per un sistema di particelle. Come prima l'espressione può essere semplificata considerando che le quantità del tipo $\vec{F}\cdot\vec{r}$ sono niente altro che il lavoro delle forze $\vec{F}$. Per questo, introduciamo il lavoro medio totale delle forze esterne e delle forze interne:

$$\ensuremath{\left\langle L^{(e)} \right\rangle}= \ensuremat... ...angle \sum_{i < j} \vec{F}_{ij}\cdot\vec{r}_{ij} \right\rangle}$$

per ottenere:

$$\ensuremath{\left\langle T \right\rangle}= - \frac{ \ensure... ...t\rangle}+ \ensuremath{\left\langle L^{(i)} \right\rangle}}{2}$$

L'espressione si semplifica ulteriormente considerando vari casi particolari. Per esempio, se il sistema è un corpo rigido, oppure un gas di particelle non interagenti, il lavoro delle forze interne è nullo. Se il campo di forze esterno è centrale, ogni termine $\vec{F}^{(e)}_i\cdot\vec{r}_i$ si riduce a $- r_i\frac{dU}{dr_i}$ ($U(r)$ è il potenziale che determina il campo centrale). Se il potenziale centrale infine è coulombiano otteniamo un'espressione identica al caso di singola particella:

$$\ensuremath{\left\langle T \right\rangle}= - \frac{1}{2} \ensuremath{\left\langle U \right\rangle}$$

dove però ora $T$ è l'energia cinetica totale di tutte le particelle del sistema ed $U$ è l'energia potenziale totale pari a $\sum_i U(r_i)$.