Equazione dell'energia di un flusso stazionario
Eseguiamo il bilancio energetico per l'efflusso stazionario di un fluido in un condotto come quello rappresentato in Fig. 1.
Sistema
Fluido
in uno stato stazionario all’interno di un condotto (dispositivo);
cioè, lo stato del fluido in un qualsiasi punto non cambia nel tempo.
Condizioni:
Il fluido
entra nel dispositivo ad una quota z1 con velocità v1
ed esce ad una quota z2 con velocità v2
Processo:
Una massa
m di fluido attraversa il dispositivo.
Una quantità di calore Q fluisce nel fluido.
Un lavoro Lu utile viene eseguito dal fluido verso l’esterno
(si immagini un mulinello all'interno della condotta che ruota e solleva un
peso).
Il flusso stazionario si può immaginare che venga realizzato attraverso due pistoni che esercitano le forze F1 ed F2.
Obiettivo: fare un bilancio dell’energia nell’efflusso stazionario.
Equazione dell'efflusso stazionario
Dalla prima legge DE = Q - L,
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D E = D U + D Ek + D Ep , con |
D U = m (u2 -u1) |
dove u è l’energia interna per unità di massa. Q = mq è il calore scambiato; q rappresenta il calore che fluisce nell’unità di massa.
Lgas = Lavoro eseguito dalle forze esterne F1 ed F2 per spostare una massa m di gas:
V1 e V2 sono i volumi occupati da m in ingresso ed in uscita.
Lavoro totale eseguito sull’esterno: L = Lgas + Lu . Sostituendo DE, Q ed L nell’equazione DE = Q - L, si ha:
Ponendo Lu = m lu , V2 = mv2, V1 = mv1, dove lu , v2 e v1 rappresentano lavoro e volumi specifici, si ha:
Ponendo u + Pv = h, l’entalpia specifica, si ottiene l’equazione dell’energia dell’efflusso stazionario:
Applicazioni dell’eq. dell’energia del flusso stazionario
Applichiamo l'equazione dell'efflusso stazionario per studiare il comportamento di alcuni utili dispositivi, le turbine e le strozzature. Dall'equazione dell'efflusso stazionario ricaveremo anche l'equazione di Bernouilli, nota con il nome di teorema di Bernouilli.
Turbina
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La ruota idraulica è la progenitrice dell’attuale turbina. |
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Consideriamo una turbina a vapore: nell'eq. dell'energia dell'efflusso stazionario, q = 0, sebbene la temperatura del fluido sia più alta di quella ambiente; la ragione è che il flusso all’interno della turbina è molto rapido.
Ponendo per ipotesi: z2 » z1, l'equazione dell'energia diventa:
Dato che m(h2 -h1) = nCp (T2 - T1) e poiché T1 > T2 si ha che h1- h2 > 0. Generalmente (v12 - v22 )/2 << h1 - h2, per cui:
lu @ h1 - h2 > 0
il lavoro fornito dalla turbina per unità di massa di vapore dipende essenzialmente dalla differenza di entalpia fra ingresso ed uscita.
Strozzatura
Per strozzatura si intende la riduzione del diametro una tubo. Determiniamo la velocità di efflusso di un fluido da una stozzatura in funzione della velocità d'ingresso.
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A monte della strozzatura il fluido è mantenuto ad alta pressione, a valle invece la pressione è molto bassa. Dato che:
q = 0, lu = 0, z1 = z2, Þ
| v22 = v12 + 2 (h1 -h2) |
Il fluido fuoriesce dalla strozzatura sotto forma di un fascio ad alta velocità. L’entalpia del fluido viene convertita in energia cinetica.
Applicazioni
Il vapore che arriva alla turbina dal bollitore possiede una velocità bassa; per aumentarene la velocità, all’ingresso della turbina si interpone una strozzatura.
Una strozzatura viene realizzata anche mediante un foro praticato in una parete sottile; un tale dispositivo viene utilizzato per produrre fasci molecolari supersonici.
Teorema di Bernoulli
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Consideriamo
un fluido privo di viscosità, in regime laminare, che scorre lungo un condotto
a sezione variabile.
Ingresso ed uscita del condotto si trovano a quote diverse. Le pareti del condotto sono isolanti. Poiché q = 0, lu = 0,
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Ricordando che h = u + P/r dove r = m/V si ha: |
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Questa equazione prende il nome di teorema di Bernoulli.
Nel caso di fluidi incompressibili u = cost. Infatti Du = 0 se q = 0, e sia il lavoro di configurazione che il lavoro dissipativo, sono nulli; questo e proprio il caso di un fluido incompressibile e non viscoso. Si ha allora la ben nota equazione di Bernouilli della meccanica dei fluidi incompressibili e privi di attrito:
