Teorema di Carnot

Tra tutte le macchine termiche che utilizzano due sole sorgenti di calore a due determinate temperature (Fig. 1)  la macchina di Carnot (Fig. 2), che opera fra la stessa coppia di sorgenti, è quella che ha il massimo rendimento.

Indicando con h_I il rendimento di una macchina termica reale che opera tra le sorgenti a temperature T_C e T_F, con T_C > T_F, e con h_C il rendimento della macchina di Carnot operante fra due sorgenti aventi le stesse temperature T_C e T_F, risulta che:

Fig. 1	Fig. 2

Dimostrazione

La dimostrazione del teorema di Carnot si effettua ragionando per assurdo, assumendo cioè che il rendimento della macchina reale è maggiore di quello della macchina di Carnot. Si dimostra che la conseguenza di questa ipotesi è la violazione della seconda legge della termodinamica. Dimostriamolo.

Sia, per assurdo

La disuguaglianza è soddisfatta nelle due eventualità:  ponendo Q_C = Q_C’, si avrebbe di conseguenza L_C < L_I; oppure ponendo L_C = L_I si avrebbe, Q_C > Q_I. Consideriamo la prima eventualità: Q_C = Q_C’, che comporta che L_C < L_I. (*).

Ciò significa che la macchina reale, a parità di calore assorbito dalla sorgente più calda, produce un lavoro superiore a quello della macchina di Carnot.

Dato che L_I > L_C, una parte di questo lavoro, per esempio L_C, si potrebbe utilizzarla per far funzionare un frigorifero. In particolare, dato che la macchina di Carnot è reversibile, L_C, sarebbe sufficiente a far funzionare la macchina di Carnot in senso inverso, cioè come un frigorifero di Carnot (Fig. 3). Tutto questo rispettando il bilancio energetico fra sorgenti e sostanza termodinamica.

Fig. 3

Il resto del lavoro, cioè L_I -L_C > 0, sarebbe disponibile come lavoro esterno utile per far funzionare altri dispositivi (Fig. 4).

 
Fig. 4

Osserviamo che, il sistema combinato costituito dalla macchina reale e dal frigorifero di Carnot (Fig. 5 e Fig. 6) corrisponde, però, ad una macchina che viola l’enunciato di Kelvin-Plank della II legge della termodinamica.

Fig. 5                                                                                        Fig. 6    

Di fatto il sistema combinato, il sistema composito macchina Irreversibile- frigorifero di Carnot si comporta come una macchina termica che utilizza una sola sorgente di calore (Fig. 7):

                Fig. 7

Verifichiamo che il calore che affluisce al fluido operatore del sistema composto dalla macchina reale e dal frigorifero di Carnot, -ô Q_F’ô + ô Q_Fô , coincide con il lavoro utile L_I - L_C ; applichiamo il primo principio della termodinamica (vedi Fig. 4)

-ô Q_F’ô + ô Q_Fô = (L_I - ô Q_C’ ô ) + ô Q_Fô = (L_I - ô Q_C ô ) + ô Q_Fô =

L_I - (ô Q_C ô - ô Q_Fô ) = L_I - L_C.

Il lavoro L_I - L_C viene prodotto da una macchina che lavora con una sola sorgente.

Dunque, l’ipotesi iniziale, assunta per assurdo, porta ad un assurdo, e, come tale, va rigettata. Non è dunque vero che ma si ha:

 .
________________________

(*) Nel caso L_C = L_I e, di conseguenza, Q_C > Q_I  la dimostrazione segue lo stesso svolgimento e porta alla conclusione che il sistema combinato viola l’enunciato di Clausius del la seconda legge della termodinamica.