Raccolta di Esercizi di Cinematica

Esercizio 1
Un velocista corre i $100$m piani in $10.0$s. Si approssimi il suo moto ipotizzando un'accelerazione costante nei primi $15$m e poi una velocità costante per i rimanenti $85$m. Si determinino:
a)
la sua velocità finale;
b)
il tempo impiegato per percorrere i primi $15$m;
c)
il tempo necessario per gli altri $85$m;
d)
il modulo dell'accelerazione per i primi $15$m.
 
Soluzione
Esercizio 2
Si consideri un'accelerazione che varia linearmente con il tempo: $a_x(t)=a_0+b_0t$. Si trovino le leggi orarie per:
a) $v_x(t)$;
b) $x(t)$.
Soluzione
Esercizio 3
Un punto si muove nel piano $xy$ con equazioni $x(t)=t^2-4t$, $y(t)=t^2-3t+1$.
a) si calcolino le leggi orarie per le componenti della velocità e dell'accelerazione;
b) si calcoli in funzione del tempo il modulo della velocità e dell'accelerazione;
c) si calcoli in funzione del tempo l'angolo che il vettore velocità forma con l'asse $x$;
d) si calcolino in funzione del tempo le componenti dell'accelerazione tangente e normale alla traiettoria.
Soluzione
Esercizio 4
Da un punto $P$ posto ad altezza $h$ rispetto al terreno si lanciano dei sassi con velocità di modulo $v_0$ costante e angolo di alzo $\alpha$ ( $0<\alpha<\frac{\pi}{2}$).
a) Per $\alpha=\frac{\pi}{6}$, $v_0=4$m/s e $h=10$m, si determini il tempo di volo e l'angolo di impatto quando il sasso colpisce il suolo.
b) Si determini l'angolo $\alpha$ che rende massima la gittata.
Soluzione
Esercizio 5
Un ragazzo sta in piedi su un vagone scoperto che si muove con velocità costante di $v_t=16$m/s rispetto al terreno. Il ragazzo lancia un sasso verso l'alto con una velocità di $v_0=11$m/s.
a)
Qual è il modulo e la direzione della velocità iniziale del sasso per una ragazza ferma a terra?
Il ragazzo riprende il sasso quando questo ritorna alla stessa altezza dalla quale l'aveva lanciato.
b)
Qual è la gittata del sasso secondo il ragazzo e secondo la ragazza?
c)       Qual è il tempo di volo del sasso per il ragazzo e per la ragazza?

Soluzione

Esercizio 6
Un arciere vuole colpire con una freccia una mela su un albero ad altezza $h=12$m rispetto all'arciere. La distanza in linea d'aria tra arciere e bersaglio sia $s=35$m. L'angolo di mira dell'arciere sia $\alpha=30^\circ$ rispetto all'orizzontale. Si determini:
a1)
con quale velocità (in modulo) deve essere scoccata la freccia affinchè colpisca il bersaglio;
a2)
in quanto tempo la freccia raggiunge il bersaglio;
a3)
l'altezza massima raggiunta dalla freccia.
b)
Se la velocità massima con cui l'arciere è in grado di scoccare la freccia è $v_{max}=45$m/s, si determini il valore minimo dell'angolo di mira (rispetto all'orizzontale) che consente all'arciere di colpire il bersaglio.
c)
All'istante $t=0$ la mela si stacca dal ramo e cade, mentre l'arciere sta mirando in direzione della mela a un angolo di $17^\circ$ rispetto all'orizzontale. Dato un tempo di reazione dell'arciere pari a $\Delta t=0.2$s si determini con quale velocità l'arciere deve scagliare la freccia per colpire in volo la mela.

Soluzione

Esercizio 7
Un uomo cammina nella pioggia munito di ombrello.
a)
Se le gocce di pioggia cadono secondo la verticale con velocità $v_1=8$m/s e l'uomo cammina in piano con velocità $v_2=3$m/s, si determini l'angolo ottimale di inclinazione dell'ombrello e con quale velocità (in modulo) le gocce d'acqua colpiscono l'ombrello.
b)
Si ripeta il calcolo nel caso in cui la pioggia cada contraria al moto dell'uomo con inclinazione pari a $20^\circ$ rispetto alla verticale.

Soluzione

Esercizio 8
Un disco inizialmente fermo viene fatto ruotare con accelerazione angolare costante $\alpha_1=5$rad/s$^2$. Dopo $45$s l'accelerazione angolare cessa e il disco ruota con velocità angolare costante per $25$s. Infine il disco decelera per $40$s fino a fermarsi. Si determini:
a)
quanti giri completi compie il disco complessivamente
b)
quanto vale la decelerazione angolare durante la fase di frenata
c)
quanto vale la velocità angolare media

Soluzione

Esercizio 9
Un vagone di un treno parte da fermo e accelera con accelerazione costante $a_t=3$m/s$^2$. All'interno del vagone un bambino gioca tirando in alto una palla. Dopo $5$s dalla partenza del treno il bambino lancia la palla con velocità pari a $v_0=3.5$m/s (in modulo).
a1) con quale inclinazione rispetto all'orizzontale il bambino deve lanciare la palla affinchè questa gli ritorni tra le mani?
a2) dopo quanto tempo dall'istante di lancio la palla gli ritorna in mano?
a3) qualè la gittata della palla per un osservatore fisso esterno al treno?

Si supponga che il bimbo lanci la palla con l'inclinazione trovata al punto a1). Nell'istante in cui la palla raggiunge la quota massima l'accelerazione del treno cessa bruscamente e il treno si muove con velocità costante.

b1) a che distanza dal bambino cadrà la palla? se il bambino guarda nella direzione di moto del treno, la palla gli cadrà davanti o dietro le spalle?
b2) qualè in questo caso la gittata della palla per l'osservatore fisso esterno al treno?

Soluzione

Esercizio
Un bambino gioca a palla all’interno di un vagone di un treno. Il bambino lancia la palla nella direzione di movimento del treno con un angolo di 60º rispetto all’orizzontale.
a) Se il treno si muove con velocità costante v la palla tocca il pavimento del vagone a tre metri di distanza dal bambino. Quanto vale, all’istante del lancio, il modulo della velocità della palla rispetto al bambino? Qual’è la gittata della palla per un osservatore in quiete fuori dal treno?
b) Se all’istante del lancio il treno comincia a frenare con decelerazione –a, a che distanza dal bambino atterra la palla, supposto che la lanci con la stessa velocità di cui al punto a)? Qual’è la gittata della palla per l’osservatore in quiete?

Risultati: 
 a) Sia v0 la velocità iniziale della palla nel sistema di riferimento solidale al treno: v0=5.8 m/s,
sia D x¢ la gittata della palla per l’osservatore in quiete: D x¢ = (3+6v/v0) m , con v espressa in m/s;
b) Sia D x0 la gittata della palla per l’osservatore solidale al treno: D x0 = (3+0.53 a) m, con a espressa in m/s2.]

Esercizio
Un disco di hockey, colpito da un giocatore al livello del ghiaccio, sfiora la sommità di una parete di vetro alta 2.8 m. Il tempo impiegato dal disco per arrivare a quel punto è 0.65 secondi e lo spostamento orizzontale è 12 m. Si trovino:
a)  il modulo della velocità iniziale del disco;
b)      la quota massima raggiunta dal disco.

Risultati:  a) 20 m/s; b) 2.87 m.  

Esercizio
Un ragazzo lancia un sasso da una scogliera alta 52 m sul livello del mare con una velocità iniziale di 48 m/s e con un angolo di elevazione di 36°. Si determino:
a)      la gittata;
b)      la quota massima rispetto al livello del mare;
c)      il tempo di volo.
Si calcolino i punti a), b) e c) nel caso in cui quando il sasso si trova alla quota massima una folata di vento imprima una velocità aggiuntiva di 10 m/s (in direzione parallela al mare).  

 Risultati: a) 281 m; b) 93 m; c) 7.2 s.  

Esercizio
Un punto si muove nel piano OXY secondo la seguente legge oraria: x = t2, y = (t-1)2.
Si studi il moto determinando:
a)      la traiettoria;
b)      l’andamento della velocità;
c)      l’andamento dell’accelerazione.  

 Risultati:  a) y2+x2-2xy-2y-2x+1= 0; b) ; c) ,

Esercizio
Una piattaforma circolare ruota, rispetto al terreno, con una velocità angolare costante wt attorno ad un asse verticale passante per il suo centro O. Un uomo corre sulla piattaforma lungo una traiettoria circolare di raggio r' e centro O. La velocità angolare dell’uomo relativa alla piattaforma è w' . Il vettore w' ha verso opposto a quello del vettore wt .
Si studi l’accelerazione dell’uomo rispetto al terreno.

Risultato :  a = r' (w'- wt)2 diretta radialmente verso il centro.      

Esercizio
Una piattaforma circolare ruota, rispetto al terreno, con velocità angolare costante w attorno ad un asse verticale passante per il suo centro O. Un uomo si sposta dal centro O al bordo della piattaforma lungo un raggio r, muovendosi con velocità v¢ costante (rispetto alla piattaforma).
a)      Si studi la velocità dell’uomo rispetto al terreno.
b)      Si determini la traiettoria (si usino le coordinate polari).
c)      Si studi l’accelerazione dell’uomo rispetto al terreno (si discuta l’accelerazione complementare di Coriolis).

Risultati: a) ; b) ; c)

Esercizio
 In un sistema cartesiano, i cui assi hanno direzioni indicate dai versori , , , il moto di una particella è descritto dall’equazione oraria:

dove le costanti del moto a e b si misurano in m e la costante , in rad/s.
Determinare:
a) l’equazione della traiettoria della particella.Il vettore velocità ed il suo modulo
b) Il vettore accelerazione. Dimostrare che l’accelerazione è sempre diretta verso il centro della traiettoria.
c) Trovare per quali valori dell’angolo velocità ed accelerazione sono ortogonali.

Esercizio
 Piove e, non essendoci vento, le gocce cadono verticali rispetto al suolo. Un passeggero su un treno che si muove alla velocità costante di 100 km/h nota che le gocce d’acqua tracciano righe inclinate di 80º rispetto alla verticale sui finestrini laterali. Si calcoli la velocità delle gocce d’acqua rispetto al suolo.

Esercizio
 Un ciondolo, schematizzabile come una massa m attaccata ad un filo di massa trascurabile, è appeso allo specchietto retrovisore di un auto. Si calcoli di quanto si inclina il ciondolo rispetto alla verticale se
a) l’auto si muove con velocità costante v=50 km/h.
b) l’auto accelera con accelerazione a=3 m/sec2.

  • Stefano Bettelli - Nicola Daldosso