Esercizio 1
Risolviamo direttamente il caso con attrito; il caso senza attrito
si ricava da questo ponendo
. I tre blocchi sono ovviamente
vincolati a muoversi con la stessa legge oraria, quindi avranno
una accelerazione comune di modulo
. Le forze di attrito si
oppongono alla forza
, e sono proporzionali al peso dei rispettivi
blocchi:
dove
è la massa totale del sistema dei tre blocchi.
L'accelerazione comune sarà allora:
quindi
m/s nel caso senza attrito e
m/s nel
caso con attrito. Passando alle tensioni delle corde, possiamo
scrivere il seguente insieme di equazioni:
come si vede, le tensioni non dipendono da .
Esercizio 2
Nella prima fase, la macchina si muove di moto rettilineo uniforme,
per cui nel suo sistema di riferimento non si manifestano forze
apparenti ed il ciondolo rimane verticale. La tensione del filo
è esattamente uguale al peso del ciondolo:
N.
Nella seconda fase la macchina subisce una decelerazione costante
. Se chiamiamo
Km/hm/s la velocità iniziale
e
Km/hm/s la velocità alla fine della fase di
decelerazione, il tempo necessario alla frenata è:
Lo spazio percorso in questo tempo
è
m, e dalle
leggi cinematiche del moto uniformemente accelerato ricaviamo:
da cui si ricava immediatamente
m/s. Questa accelerazione appare come una accelerazione
fittizia nel riferimento della macchina, parallela alla strada.
La tensione complessiva della fune quindi è:
e l'angolo di inclinazione
rispetto alla verticale:
con il ciondolo che si sposta verso la parte anteriore della macchina.
Nella terza fase l'accelerazione fittizia è invece quelle centrifuga data da con m il raggio di curvatura. In modo del tutto analogo al caso precedente si ricava:
con il ciondolo che si sposta verso il il bordo esterno della curva.
L'ultima fase è leggermente più complicata delle altre. In questo
caso l'accelerazione fittizia e la forza peso non sono più ortogonali,
quindi sommare in quadratura è sbagliato. Stavolta l'accelerazione
fittizia è
, per
cui la tensione diventa:
Il modulo della tensione
risulta
N, e l'inclinazione:
ed il ciondolo si inclina verso la parte posteriore della macchina. L'inclinazione rispetto alla ``verticale'' della macchina naturalmente è maggiore: . Notare che la lunghezza del filo del ciondolo è ininfluente in questo problema.
Esercizio 3
La caduta della pallina è un moto parabolico con velocità
iniziale parallela all'asse
. Il tempo per cadere di un
dislivello
è
; in questo tempo lo spazio
percorso è
che deve essere uguagliato alla gittata richiesta
, per cui:
Nel caso di assenza di attrito, la velocità
deve essere
acquistata lungo il piano inclinato. Siccome la pallina è supposta
partire da ferma, la legge oraria è semplicemente
,
dove
è la componente dell'accelerazione di gravità
lungo il piano inclinato (la componente ortogonale viene annullata dalla
reazione vincolare). La distanza percorsa è legata all'altezza di
partenza da
, e la velocità finale sarà
.
Riunendo tutte queste formule otteniamo:
da cui
cm. Il risultato è indipendente
dalla inclinazione del piano. Infatti si poteva ottenere considerando
la conservazione dell'energia:
Se c'è attrito lungo il piano orizzontale, la velocità alla base
del piano inclinato dovrà essere
più grande di
per
compensare il rallentamento dovuto all'attrito. La decelerazione
corrispondente all'attrito è
, quindi:
In modo analogo a prima si ricava allora
cm.
Anche in questo caso si poteva ricorrere alla conservazione dell'energia
introducendo il lavoro
fatto dalla forza di attrito:
Esercizio 4
Consideriamo come riferimento quello del piano inclinato. Se esso trasla in
orizzontale con accelerazione
costante, nel suo riferimento si avverte una forza apparente
che induce una accelerazione
. Le equazioni del moto in presenza di attrito saranno:
Dove
è l'intesità della reazione vincolare normale ed
è l'intesità dell'attrito.
è un coefficiente che varia nell'intervallo
ed esprime il fatto che l'attrito in valore assoluto
è minore di
. Risolvendo le equazioni precedenti rispetto a
ed
otteniamo:
Dalla relazione
si ricava immediatamente:
da cui si nota che per
non è necessaria alcuna forma di attrito. Il caso
di traslazione a velocità costante si ottiene ponendo
: che la velocità di traslazione sia diversa da zero non ha
alcuna importanza per il principio di relatività. Si noti che
può avere sia segno positivo che segno negativo, corrispondenti
all'attrito essere direzionato verso la discesa o la salita. In altre parole:
Quando l'accelerazione è nulla siamo sicuramente nel primo caso:
Esercizio 5
L'equazione del moto per il corpo sopra il blocco superiore sono semplici,
comprendono solo la forza peso, la reazione vincolare normale e l'attrito:
attenzione ad usare il coefficiente
corretto. L'equazione si risolve facilmente rispetto a
:
L'equazione per il blocco di massa comprende anche la tensione della fune. Quella per il blocco di massa è ulterioremente complicata da due fatti:
Quindi riassumendo il tutto, e ricordando che i due blocchi devono avere una
accelerazione comune
perchè sono collegati da una fune inestensibile, le equazioni
sono:
Sommando le prime due equazioni possiamo eliminare la tensione della fune
ed ottenere una equazione per
:
Sostituendo ora l'espressione di
per esempio nella prima equazione otteniamo il valore della tesione:
I moti del corpo e del blocco di massa
sono entrambi uniformemente accelerati (lungo la stessa direzione).
Il moto relativo sarà dunque accelerato con accelerazione
, e la distanza fra il centro del blocco ed il suo bordo verrà
coperta nel tempo:
Il corpo cade ovviamente fra i due blocchi, poichè .
Esercizio 6
Consideriamo il piano
definito dall'asta e dall'asse verticale e definiamo
il versore diretto verso l'alto e
il versore orizzontale che si allontana dall'asse verticale
nel piano suddetto. Le forze agenti sulla pallina in un riferimento inerziale
sono allora la forza peso
, la forza di reazione vincolare
e la forza di attrito
:
Commentiamo le formule precedenti. Innanzitutto la reazione vincolare non
ha componenti fuori dal piano
, poichè il moto è circolare uniforme (ovvero non c'è
accelerazione angolare) e non vi sarebbe alcuna altra forza che potrebbe bilanciare
una componente di
fuori dal piano
. In secondo luogo la forza di attrito è stata scritta come il
suo valore massimo
moltiplicata per una frazione
; infatti, nell'ipotesi che la pallina non scivoli, la forza
di attrito non ha necessariamente il valore massimo, ma vale comunque il vincolo
. Anzi, ricaveremo le condizioni su
proprio imponendo questo vincolo. La condizione per il moto circolare
è:
definiamo la quantità adimensionale
e sostituiamo le espressioni per le forze ottenendo due
equazioni scalari corrispondenti agli assi
ed
:
Dalla prima ricaviamo il modulo della reazione vincolare:
Sostituendo
nella seconda equazione troviamo una relazione che lega tutte le quantità
in gioco:
questa relazione può essere risolta in funzione di
:
Notiamo subito che il numeratore si annulla per
ovvero
è il valore del raggio per cui la pallina
rimarrebbe ``in equilibrio'' anche in assenza di attrito. I casi limite per
l'attrito si ricavano, come detto prima, dall'imporre
:
Risolvendo in funzione di
otteniamo:
ovvero siccome
:
dove è il raggio di equilibrio precedentemente trovato; ovviamente nel limite il rapporto tende ad .
Esercizio 7
Ognuna delle due masse, al netto delle reazioni vincolari, è spinta a
scendere lungo il piano inclinato da una frazione della forza peso
, ed è trattenuta dalla altra massa attraverso la tensione
comune
trasmessa dalla corda. Siccome:
sarà la massa
a scendere. L'accelerazione totale del sistema è determinata
dalla somma delle forze e dalla somma delle masse (siccome la direzione della
forza è manipolata dalla carrucola possiamo considerare il moto unidimensionale;
inoltre, nella somma delle forze la tensione della corda si elimina esattamente):
La tensione della fune si può ora ricavare per differenza, notando che
per ogni blocco la forza totale agente su di esso si scrive
dove
è l'accelerazione comune precedentemente calcolata (cioè
per esempio
):
Per giungere a terra la massa
deve percorrere lungo il suo piano inclinato la distanza
. Stante l'accelerazione costante
ed il fatto che il blocco partiva da fermo, il tempo necessario è:
L'altro blocco ha percorso lungo il suo piano inclinato ovviamente la stessa
distanza
, ovvero ha raggiunto la quota:
a patto che il piano inclinato fosse sufficientemente esteso. Notiamo che
questa ultima condizione è puramente geometrica, quindi non cambia nel
caso di attrito non nullo. Se però esiste un attrito, siccome i piani
inclinati hanno inclinazione costante, la forza d'attrito si manifesta come
una decelerazione costante:
Si noti che entrambi i contributi hanno segno positivo (l'attrito decelera entrambi i blocchi). La forza totale agente sul sistema viene decurtata di questa quantità, per cui la nuova accelerazione vale:
e la nuova tensione:
Il valore limite dell'attrito per rendere possibile il moto è quello
che annulla la accelerazione totale del sistema:
Esercizio 8
In questo problema le uniche quantità in gioco sono la lunghezza del
filo inestensibile
, la massa del corpo
e la forza di gravità
. Dall'analisi dimensionale risulta immediatamente che la scala delle
velocità sarà fissata dal parametro
m/s che è l'unica combinazione delle
precedenti grandezze che abbia le dimensioni di una velocità.
Nel punto più alto della traiettoria la forza esercitata dal filo
(che supponiamo in tensione) sul corpo e la forza di gravità sono allineate
con
e dirette verso il basso. La traiettoria circolare richiede
una accelerazione centripeta di modulo pari a
se
è la velocità nel punto più alto. La seconda legge
di Newton si scrive allora:
La condizione affinchè
sia non negativo è dunque
. L'energia totale del pendolo a questo punto
sarà la somma dell'energia cinetica e di quella potenziale:
avendo posto lo zero dell'energia potenziale nel punto di sospensione del
pendolo. Non essendoci attriti l'energia totale si conserva, ed è pertanto
uguale a quella calcolata nel punto iniziale del moto (che si trova ad altezza
dove
vale
):
Uguagliando i valori dell'energia e prendendo il valore limite nella disuguaglianza
otteniamo l'equazione:
Con lo stesso procedimento si può ovviamente ricavare la velocità
in qualsiasi altro punto, noto l'angolo. Immediatamente otteniamo:
Passiamo ora alla tensione del filo. Quando questo forma un generico angolo
con la verticale, la tensione
sarà diretta verso il punto di sospensione:
. La gravità avrà poi una
componente radiale pari a
(la componente azimutale diminuisce
il modulo della velocità ma non contribuisce alla curvatura). La somma
della gravità e della reazione vincolare (tensione del filo) eguaglia
l'accelerazione centripeta, per cui:
Passando all'equazione scalare e facendo la solita sostituzione
otteniamo:
Sostituendo nelle relazione precedenti (che sono state ricavate nell'ipotesi
limite che
sia nulla) otteniamo:
Esercizio 9
In assenza di qualsivoglia attrito, la biglia esercita solo una forza normale
al blocco
, bilanciata dal vincolo del piano di scorrimento, senza nemmeno rotolare.
La dinamica dei due blocchi non ne è influenzata. La fune trasmette una
forza fra i due blocchi, decelerando il blocco
ed accelerando il blocco
; le equazioni del moto risultano:
dove
è l'accelerazione comune ai due blocchi (essi sono vincolati
dalla fune a muoversi con la stessa legge del moto) e
è il modulo della tensione della corda (si immagina che
e
giacciano entrambi nel piano orizzontale. Eliminando
si calcola immediatamente l'accelerazione comune:
e sostituendola nella seconda equazione si ricava
:
La biglia, che non si muove, cadrà dal bordo del blocco
quando quest'ultimo si sarà mosso di
cm dalla posizione iniziale, ovvero:
In caso di attrito poi ogni blocco viene decelerato da una forza proporzionale
alla componente normale al piano di scorrimento del peso complessivo che giace
sulla superficie di appoggio, ovvero il blocco
viene decelerato
ed il blocco
di
. Inoltre l'attrito della pallina sul blocco
decelera ulteriormente il blocco
(ed accelera la pallina). Le equazioni del moto precedenti diventano:
come prima eliminiamo
:
sostituiamo nella seconda e ricaviamo
:
utilizzando
ora ricaviamo il valore di
:
Infine calcoliamo quando la pallina cade; nel riferimento accelerato del blocco
la pallina sente una forza di attrito
ed una forza apparente dovuta alla accelerazione del blocco
sottostante pari a
. La forza effettiva è dunque
, e la pallina cade quando la distanza percorsa è pari
a :
Esercizio 10
La velocità massima alla quale la curva puó essere percorsa è
quella che richiede una accelerazione centripeta uguale al massimo attrito
possibile. Naturalmente stiamo supponendo che il motore della macchina compensi
l'attrito volvente nella direzione del moto della macchina.
Per il secondo caso, consideriamo un riferimento inerziale collegato alla strada. In questo riferimento le forze agenti sulla macchina sono il peso, la reazione vincolare normale e l'attrito. Definiamo una coppia di direzioni ed dirette verso l'alto e verso il centro della curva ortogonalmente a , ed un'altra coppia e dirette lunga la normale uscente dalla strada e la parallela alla strada verso il centro della curva, tutte nel piano ortogonale alla macchina. Le espressioni delle forze e le condizioni affinchè il moto della macchina sia circolare uniforme con raggio in un piano orizzontale sono:
dove
Le componenti delle forze in direzione z, per la II legge della dinamica, danno luogo all'equazione:
che, facendo il prodotto scalare, diventa:
(1)
Per un osservatore inerziale le componenti in direzione x producono l'accelerazione a di modulo v2/R; per la II legge della dinamica si ha perciò:
eseguendo il prodotto scalare a primo membro, si ha:
Considerando poi che:
ricavando il valore di
dall'eq. (1):
e sostituendolo nell' eq (2) si ha:
da cui si ricava facilmente la velocità:
Come si vede il radicando nell'espressione di può diventare negativo per valori sufficientemente grandi di (circa ); questo significa che per inclinazioni superiori a questo angolo di soglia la macchina non può in alcun caso scivolare verso l'esterno della pista.
Rivediamo l'impostazione del problema dal punto di vista dell'osservatore non inerziale a bordo dell'auto,. Per questo osservatore il diagramma di corpo libero dell'auto è:
Laddove FC rappresenta la forza centrifuga. Per l'osservatore non inerziale l'auto è in quiete, per cui le equazioni del moto nelle direzioni z ed x diventano:
si ritrovano le equazioni (1) e (2).
Esercizio 11
Se il camion decelera con decelerazione
, il tempo che ci mette a fermarsi sarà
, ed in questo tempo percorrerà uno spazio pari
a:
La cassa rimane solidale con il cassone se la decelerazione massima dovuta
all'attrito statico, che vale
, supera l'accelerazione
. In questo caso il camion percorre:
Se il camion sta procedendo in discesa, la reazione vincolare del cassone
non è più
ma
. Inoltre la cassa è tirata verso il basso anche dalla
componente della sua forza peso parallela al piano del cassone, ovvero
. La forza di attrito massima effettiva (cioè comprensiva
anche della componente del peso) risulta dunque
. Sostituendo nella
relazione precedente otteniamo:
Infine nel caso della strada in salita la componente della forza peso parallela
al piano del cassone ``aiuta'' l'attrito anzichè deprimerlo, per cui
e lo spazio diventa:
Esercizio 12
La corda in tensione esercita su ognuno dei due corpi una forza costante
. Le accelerazioni (in modulo!) dei due corpi saranno allora legate
dalla relazione:
Lo spazio percorso da entrambi i corpi si ricava con le usuali leggi del moto
accelerato, e nel momento del contatto la somma degli spazi percorsi deve
essere uguale alla distanza totale iniziale:
utilizzando la relazione fra
ed
possiamo eliminare
dall'ultimo membro:
ora notiamo che nell'ultimo membro troviamo di nuovo la espressione di
per cui:
Questo risultato in realtà non dipende dal fatto che la tensione della
corda sia costante, ma solo dalla conservazione della quantità di moto.
Infatti il sistema ragazza-slitta è inizialmente fermo, e siccome non
interagisce con nient'altro (stiamo trascurando l'attrito con la superficie)
la quantità di moto totale deve rimanere nulla. Questo impone una relazione
fra i moduli delle velocità a tutti i tempi:
Esprimendo le distanze percorse con relazioni integrali:
possiamo ora sostituire
con la relazione trovata dalla conservazione della quantità
di moto:
nell'ultimo integrale riconosciamo di nuovo l'espressione per
e ci riconduciamo al risultato precedente:
L’accelerazione misurata dal sistema di riferimento solidale con la giostra è puramente centripeta (moto circolare uniforme) di modulo dato da
a’ = v’2 / R.
Per un osservatore fisso la persona compie ancora un moto circolare uniforme ma con velocità periferica in modulo data da
v = v’ + wR,
per effetto del trascinamento della giostra. Dunque l’accelerazione rilevata dal sistema fisso è data da
a = v2/R = (v’+w R)2 / R = v’2 / R + w2 R + 2v’w.
Si vede dunque che, per trasformare a in a’ bisogna tenere conto, oltre che dell’accelerazione centripeta di trascinamento data da w2R, anche del termine complementare dato da
2v’w.
(Prof. Stefano Oss)
Le uniche forze essenziali sono quelle interne, che agiscono in coppia e dunque sono tali da implicare la conservazione della quantità totale di moto del sistema. Si ha dunque, vettorialmente,
p + P= p’ + P’.
Proiettando su due assi diretti secondo le velocità iniziali delle particelle si scrive
m v = m v’ + M Vx’ (lungo x)
e
M V=M Vy’.
Risistemando i termini si ottiene
Vx’ = m (v-v’) / M,
Vy’ = V.
(Prof. Stefano Oss)
E’ possibile risolvere questo problema semplicemente partendo dal fatto che, dalla
F = - k v
si ha
a = dv/dt = - b v,
ove si è posto
b = k / m.
Si può dunque scrivere
dv = - b v dt = - b dx.
Dunque si scopre che
dv/dx = - b.
Nota bene: questa stessa relazione può essere ottenuta (con più fatica) integrando la legge dell’accelerazione ed esplicitando velocità (e spostamenti) in funzione del tempo. Il risultato lega comunque variazioni di velocità con quelle di cammino percorso, che è quanto chiesto nell’esercizio.
Nel caso specifico,
Dv /Dx = - b = - 0.2 / 0.05 sec-1 = 4 sec-1,
oppure (essendo m = 1 Kg) k = 4 Kg/sec.
(Prof. Stefano Oss)