Esercizi dinamica dei sistemi

Esercizio 1
Un blocco di massa $m$ poggia su un piano orizzontale liscio. Il blocco è collegato ad una parete verticale attraverso due molle unite una di seguito all'altra con costante elastica $k_1$ e $k_2$ e lunghezza a riposo rispettivamente $d_1$ e $d_2$. All'istante $t=0$ il blocco si trova in quiete a distanza $x=d_1+d_2$ dalla parete. In questo istante un proiettile di massa $m/4$ e velocità $v$ colpisce il blocco nella direzione di compressione delle molle e si conficca in esso. Si determini
a) lo spostamento massimo del blocco rispetto alla posizione di equilibrio
b) la velocità massima del blocco
c) la frequenza di oscillazioni del blocco

Soluzione

Esercizio 2
Un punto materiale di massa $m_1=0.15$kg e velocità $v=3$m/s si muove su un piano orizzontale liscio e colpisce con direzione perpendicolare un'asta in quiete sul piano a distanza $h=0.1$m dal centro dell'asta. La massa dell'asta è $m_2=0.21$kg e la sua lunghezza è $d=0.4$m. L'urto sia elastico. Si determini:
a) la velocità (modulo e direzione) della massa $m_1$ dopo l'urto
b) la velocità (modulo e direzione) del centro di massa dell'asta dopo l'urto
c) la velocità angolare dell'asta dopo l'urto
d) per quale intervallo di valori della massa $m_1$ il punto materiale inverte il proprio moto dopo l'urto.

Soluzione

Esercizio  3
Un corpo di massa m=0.2 kg scivola lungo un piano inclinato di a=30° rispetto all’orizzontale. Il corpo parte da fermo da un’altezza h=70 cm. Il piano inclinato è scabro con coefficiente di attrito dinamico tra piano e corpo m=0.3. In fondo al piano inclinato, su un tratto di piano orizzontale, è posta una molla di massa trascurabile e di costante elastica k=1200 N/m (vedi figura). Si assuma liscio il tratto di piano orizzontale e liscio e smussato il  raccordo tra piano inclinato e piano orizzontale.
Si determini:
a)      la velocità con cui il corpo raggiunge la molla e la compressione massima della molla
b)      l’altezza massima  h¢ raggiunta dal corpo sul piano inclinato dopo il rimbalzo sulla molla
c)      l’energia dissipata per attrito.

Soluzione

Esercizio 4
Si consideri un satellite artificiale di massa m=5000 kg in orbita circolare geostazionaria attorno alla Terra (si trova costantemente sulla verticale di un punto della superficie terrestre). Si determini:
a)      la quota dell’orbita del satellite rispetto alla superficie terrestre
b)      la velocità del satellite lungo l’orbita
c)      l’energia di legame del satellite
d)      l’energia minima che dovrebbero erogare i motori del satellite affinché il satellite possa allontanarsi fino a distanza infinita dalla Terra.

(Il raggio della Terra è RT=6.5´106 m e la massa della Terra è MT=6.2´1024 kg)

Soluzione

Esercizio 5
Un corpo di massa m1=0.02 kg si muove con velocità costante v0=1.4 m/s su un piano orizzontale privo di attrito. Il corpo nel suo moto incontra una rampa liscia inclinata di a=45° rispetto all’orizzontale. La rampa, inizialmente in quiete, ha massa m2=0.26 kg e può muoversi senza attrito sul piano orizzontale. Si assuma liscio e smussato il raccordo tra piano orizzontale e rampa. Si determini:
a)      l’altezza raggiunta dal corpo sulla rampa quando questo è fermo rispetto alla rampa e la velocità della rampa in questo istante 
b)      la velocità del corpo e della rampa quando il corpo è ridisceso dalla rampa e si muove sul piano orizzontale.
c)      si discuta cosa succede se fosse m2>>m1 oppure m1>>m2.

 

Soluzione

Esercizio 6
Un blocco di massa $m$ scivola verso il basso lungo un piano inclinato privo di attrito. L'angolo di inclinazione del piano rispetto all'orizzontale sia $\alpha$. Il piano inclinato, di massa $M$, è a sua volta appoggiato su una superficie orizzontale priva di attrito. Il blocco e il piano inclinato sono inizialmente fermi e il blocco si trova ad altezza $h$ sopra il piano orizzontale.

a)
Si calcoli la velocità del piano inclinato nell'istante in cui il blocco arriva in fondo al piano inclinato.
b)
Si calcoli la velocità del blocco nell'istante in cui questo arriva in fondo al piano inclinato.

Soluzione

Esercizio 7
Una palla da biliardo di raggio $R$ inizialmente scivola senza rotolare con velocità lineare $v_0$ su una superficie orizzontale. Il coefficiente di attrito tra la palla e la superficie è $\mu$. Si determini nell'istante in cui la palla comincia a rotolare senza strisciare:

a)
la velocità lineare della palla;
b)
il tempo trascorso;
c)
lo spazio percorso.

Soluzione

Esercizio 8
Un'asta di massa $m=2$kg e lunghezza $d=2.5$m può ruotare senza attrito attorno ad un asse orizzontale passante per un suo estremo. Inizialmente l'asta è in condizioni di equilibrio stabile. Ad un certo istante essa viene colpita da una pallina di massa $m'=0.03$kg e velocità $v=50$m/s, ortogonale all'asta, in un punto distante $h=0.5$m dal centro dell'asta verso il basso. Si calcoli la massima altezza raggiunta dal centro dell'asta nel caso di:

a)
urto completamente anelastico;
b)
urto elastico.

Soluzione

Esercizio
Un rocchetto cilindrico di massa m=0.2 Kg e raggio R=5 cm si srotola sotto l’azione della forza di gravità. Trovare la velocità del C.M. del rocchetto dopo che ha svolto un tratto di filo h=50 cm.

 Risultati:  v=2.5 m/s

 Esercizio
Due corpi sono connessi da una fune di massa trascurabile attraverso una carrucola di massa m=0.1 Kg e raggio di 3 cm: M2 =1 Kg è appeso e M1 = 2 Kg è appoggiato su un piano inclinato di 40°.
a)      determinare l’accelerazione angolare della carrucola;
b)      determinare l’accelerazione angolare della carrucola se il piano inclinato ha un coefficiente di attrito m = 0.2 .

 Risultati: a) a =145 rad s-2   b) a =112 rad s-2

 Esercizio
Una sottile sbarra di massa m=3 Kg, lunghezza L=0.5 m e di densità costante poggia su una delle sue basi su un tavolo scabro, considerato come piano xy. La sbarra comincia a cadere, con l’estremità superiore in moto in direzione +x, ma mentre cade, il suo punto di contatto non si muove. Determinare all’istante in cui la sbarra colpisce il tavolo:
a)      la velocità angolare;
b)      il momento angolare;
c)      l’energia cinetica.

Risultati: a) w =7.6 rad s-1   b)  L=1.9 Kg m2 s-1  c) E =7.35 J

Esercizio
Una giostra è costituita da un’asta rigida ed omogenea di massa m=60 Kg e lunghezza 2d=2 m disposta orizzontalmente e girevole con attrito trascurabile attorno ad un asse verticale passante per il suo C.M. Inizialmente due ragazzi di ugual massa M=30 Kg sono seduti ai due estremi della giostra che ruota liberamente con frequenza n0=0.5 Hz. Determinare:
a)      il momento di inerzia del sistema rispetto all’asse di rotazione;
b)      il momento angolare del sistema rispetto all’asse di rotazione;

I due ragazzi si avvicinano all’asse di rotazione della giostra fino ad una distanza d=0.8 m. Determinare:
c)      la velocità angolare della giostra nella nuova configurazione;
d)      la variazione di energia meccanica del sistema.

(L’energia meccanica non si è conservata, anzi è aumentata! Perché ?)

 Risultati: a) I=80 Kg m2   b) L=251.2 Kg m2 s-1   c) w =4.3 rad s-1   d) DEk = 145.5 J

Esercizio
Un pendolo è costituito da una sfera di massa m fissata ad un’asta rigida di lunghezza L e massa trascurabile. Determinare a quale sforzo massimo T l’asta deve resistere, considerando ampiezze angolari di oscillazione di 60°, 90°, 120° e 180°.

 Risultati:  T=2mg, 3mg, 4mg e 5mg

Esercizio
Un cilindro di massa M=4 kg e raggio 30 cm rotola senza strisciare su un piano inclinato di 30° rispetto all’orizzontale. Al centro del cilindro è attaccata una corda che trascina un blocco di massa m=2 kg. La corda sia di massa trascurabile e, in tensione, è parallela al piano inclinato. Il coefficiente di attrito dinamico tra blocco e piano inclinato sia m d=0.4. Si calcoli:
a) l’accelerazione del sistema
b) la tensione della fune
c) la velocità angolare del cilindro dopo che, partendo da fermo, ha percorso un tratto di 50 cm lungo il piano inclinato.

Esercizio
 Una sbarra omogenea di massa M=30 g e lunga 20 cm ruota in un piano orizzontale attorno ad un asse verticale fisso passante per il suo centro. Due biglie, aventi ciascuna massa m=10 g, sono inserite su questa in modo da strisciare lungo la sbarra. Inizialmente, le biglie sono vincolate, una per parte a 5 cm dal centro della sbarra ed il sistema ruota con velocità angolare w =10 rad/sec. Si tolgono i vincoli e le due biglie strisciano lungo l’asta allontanandosi l’una dall’altra ed abbandonano gli estremi. Si trascuri l’attrito delle biglie lungo la sbarra. Si calcoli:
a) la velocità angolare del sistema nell’istante in cui le due biglie raggiungono gli estremi dell’asta
b) la velocità angolare dell’asta dopo che le biglie l’hanno abbandonata
c) il modulo della velocità di ciascuna biglia nell’istante in cui abbandona l’asta.

Esercizio
Una pallottola di fucile di massa m=10 g colpisce e viene incorporata in un blocco di massa M=1 kg che sta fermo su una superficie orizzontale liscia ed è fissato a una molla di costante elastica k=150 N/m. L’urto comprime la molla di 8 cm. Si calcoli:
a) la velocità del blocco subito dopo l’urto
b) la velocità iniziale della pallottola
c) la compressione della molla se, a parità di velocità iniziale del proiettile, il coefficiente di attrito dinamico tra blocco e piano è m d=0.6.

Esercizio
Il dispositivo rappresentato in figura è costituito da un’ asta rigida saldata a un estremo a una sbarra verticale che può ruotare attorno al suo asse longitudinale. L’angolo tra l’asta e la sbarra sia di 30º. Una biglia di massa m e dimensioni trascurabili può scivolare senza attrito lungo l’asta. Se la sbarra ruota con velocità angolare costante w , si determini la distanza s lungo l’asta corrispondente alla posizione di equilibrio della biglia. Discutere la stabilità dell’ equilibrio.

 wpe7.gif (1574 byte)

Esercizio
 Una scala omogenea di lunghezza L e massa M è appoggiata a una parete verticale priva di attrito. Sia m s=0.2 il coefficiente di attrito statico tra la scala e il pavimento. Alla scala, a due terzi della sua lunghezza rispetto al punto di appoggio sul pavimento, è appeso un corpo di massa m1. Si determini l’angolo minimo di inclinazione q tra la scala e il pavimento.