Problemi vari

Esercizio n. 1

Due blocchi $A$ e $B$ di massa rispettivamente $m_A=5$kg e $m_B=2$kg poggiano su un piano orizzontale e sono uniti da una fune. Al centro della superficie superiore piana del blocco $B$ a distanza $d=10$cm dai bordi è collocata una biglia di ferro di massa $m=0.05$kg. Sul blocco $A$ agisce una forza orizzontale di intesità $F=60$N che trascina i due blocchi. Si assuma il sistema inizialmente in quiete e la fune tra i blocchi $A$ e $B$ già in tensione. In assenza di attrito tra blocchi e piano e tra biglia e superficie superiore del blocco $B$ si calcoli:
A)
a1) l'accelerazione dei blocchi $A$ e $B$,
a2) la tensione della fune,
a3) dopo quanto tempo la biglia cadrà dal bordo del blocco $B$.
B)Si ripetano i calcoli nel caso in cui tra blocchi e piano e tra biglia e superficie superiore del blocco $B$ vi sia un attrito con coefficiente $\mu=0.2$.

a1)
l'accelerazione dei blocchi $A$ e $B$,
a2)
la tensione della fune,
a3)
dopo quanto tempo la biglia cadrà dal bordo del blocco $B$.
B)
Si ripetano i calcoli nel caso in cui tra blocchi e piano e tra biglia e superficie superiore del blocco $B$ vi sia un attrito con coefficiente $\mu=0.2$.
Soluzione

Esercizio n. 2

Un'autovettura percorre una curva di raggio $R=50$m. Sia $\mu=0.7$ il coefficiente di attrito tra pneumatici e asfalto.

a)
Si calcoli la velocità massima con cui l'auto può percorrere la curva senza sbandare.
b)
Si supponga che la curva sia sopraelevata, ovvero giaccia su un piano inclinato con inclinazione $\alpha=10^\circ$ rispetto all'orizzontale, qual'è in questo caso la velocità massima con cui l'auto può percorrere la curva senza sbandare?
 
Soluzione

Esercizio n. 3

Un camion viaggia alla velocità di $75$km/h. Sul cassone del camion è collocata una cassa di massa $m=150$kg. Il coefficiente di attrito tra cassa e pianale del cassone sia $\mu=0.6$.

a)
Si calcoli il minimo spazio di arresto del camion affinchè la cassa rimanga ferma sul pianale.
b1)
Si ripeta il calcolo di cui al punto a) nel caso in cui il camion percorre una strada in discesa con inclinazione rispetto all'orizzontale $\alpha=15^\circ$,
b2)
e nel caso in cui il camion percorre una strada in salita con la stessa inclinazione.
 
Soluzione

Esercizio n. 4
Su un lago gelato, una ragazza di massa $m_1=55$kg con i pattini da ghiaccio tira con una forza costante una corda che è legata a una slitta di massa $m_2=42$kg. Inizialmente la slitta si trova a $25$m dalla ragazza ed entrambe sono in quiete. Trascurando l'attrito si calcoli la distanza percorsa dalla ragazza quando viene in contatto con la slitta.

Soluzione

Esercizio n. 5
Un’asta omogenea di massa 3m e lunghezza 6d poggia su due supporti lisci in A e B. All’estremità C dell’asta è appeso un filo con un corpo di massa m.

a) Si determinino le reazioni vincolari in A e B.
b) Si calcoli in quale punto dell’asta bisogna appoggiare un corpo di massa 2 kg affinché le reazioni vincolari in A e B siano uguali in modulo.

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Soluzione

Esercizio n. 6
 Un disco di raggio $R=60$cm può ruotare attorno ad un asse perpendicolare al disco e passante per il suo centro $O$. Il disco è diametralmente attraversato da una stretta scanalatura nella quale può scorrere senza attrito una biglia di massa $m=40$g. La biglia è agganciata al centro $O$ del disco attraverso una molla di costante elastica $k=300$N/m e di lunghezza a riposo trascurabile. La biglia viene collocata con velocità iniziale nulla a distanza $d=25$cm dal centro del disco. a)

Si determini per quale valore della velocità angolare la biglia rimane in quiete rispetto al disco in rotazione.
b)
Il disco ruoti con velocità angolare $\omega=50$rad/s in verso antiorario. Si determini se la biglia raggiunge il bordo del disco o il suo centro. Quando la biglia raggiunge questo punto, si calcoli la velocità della biglia e intensità e direzione della reazione vincolare esercitata sulla biglia dalle pareti laterali della scanalatura.
c)
Si ripetano i calcoli del punto b) se il disco ruota con velocità angolare $\omega=100$rad/s in verso antiorario.

Soluzione

Esercizio n. 7
 Una scalatrice che pesa $55$kg sta compiendo una scalata su roccia munita di una corda con costante elastica $k=3500$N/m.

a)
Considerando che il carico di rottura dei chiodi è $10000$N, si calcoli la massima distanza che la scalatrice può lasciare tra chiodo e chiodo.
b)
La scalatrice perde l'appiglio quando si trova a $5$m sopra l'ultimo chiodo. Durante la caduta si calcoli la velocità massima della scalatrice [Il testo è stato successivamente riformulato sostituendo, anche nel seguito, la velocità massima della scalatrice con la velocità che essa possiede quando la corda si comincia a tendere alla fine della prima fase della caduta]. Inoltre, si calcoli di quanto si allunga la corda quando la velocità della scalatrice si dimezza rispetto al valore massimo e quando la scalatrice arriva a fermarsi. Nei due casi si calcoli anche la trazione sul chiodo.

Soluzione

Esercizio n. 8

Si considerino i seguenti dati: massa della Terra $M_T=5.97\times10^{24}$kg, raggio medio della Terra $R_T=6.37\times10^6$m, massa della Luna $M_L=7.35\times10^{22}$kg, raggio medio della Luna $R_L=1.74\times10^6$m, distanza media Terra-Luna $R_{TL}=3.84\times10^8$m, costante di gravitazione universale $G=6.67\times10^{-11}$Nm$^2$/kg$^2$. Si determini:

a)
assumendo la Terra fissa e l'orbita della Luna circolare, la velocità lineare e la velocità angolare della Luna lungo l'orbita e il periodo di rivoluzione della Luna attorno alla Terra
b)
il valore dell'accelerazione di gravità sulla superficie della Luna confrontandolo con quello sulla superficie della Terra
c)
il valore della velocità di fuga sulla superficie della Luna. È questa velocità sufficiente per allontanarsi indefinitamente anche dalla Terra?

Soluzione

Esercizio n. 9

Una mensola viene collocata orizzontalmente utilizzando un perno privo d’attrito alla parete ed una fune ideale di sostegno. Si esprima, in funzione del peso P della mensola, della sua lunghezza L e della lunghezza della fune l la tensione della fune e si determini intensità ed orientazione della reazione vincolare in corrispondenza del perno sulla parete. La mensola può essere considerata come un’asta sottile ed omogenea.

Soluzione

Esercizio a

 Una trave omogenea AD di lunghezza L e massa 10M è incernierata all’estremo A ad una parete verticale ed è tenuta in posizione orizzontale dalla fune BC applicata a distanza s dal punto A. L’angolo tra la fune e la trave sia a . La fune ha peso trascurabile. All’estremità D della trave sia appeso un blocco di massa M.
a) Per a =30º e s=L/3, si determini la tensione della fune BC, l’intensità e la direzione orientata della forza esercitata dalla cerniera sul punto A.
b) Si determini per quale valore di s la forza esercitata dalla cerniera in A è diretta in direzione orizzontale.
c) La tensione di rottura della fune BC sia 3000 N; per M=10kg e s=L/3 si determini l’intervallo di valori di a (0<a <p ) in cui il sistema è in equilibrio.

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Esercizio b

 Un corpo di peso P è appeso ad un filo nel punto C di una mensola formata da due aste rigide di peso trascurabile incernierate nei punti A e B ad un muro
verticale.
a) Per a =45º si determinino le intensità delle forze FA e FB agenti sulle due cerniere
(Suggerimento: si consideri l’equilibrio del punto C).
b) Se la cerniera in A è in grado di sopportare una trazione pari a due volte il peso P prima di essere strappata dalla parete, si determini il valore massimo che
può assumere l’angolo a .

Esercizio c

 Una scala omogenea di lunghezza L e massa M è appoggiata a una parete con un angolo di inclinazione rispetto al pavimento di 60º. Si considerino privi di
attrito la parete e il pavimento. La scala è mantenuta in equilibrio da una fune orizzontale agganciata alla parete e a un piolo a ¾ della sua lunghezza rispetto al
punto di appoggio.

a) Si determini la tensione T della fune.
b) Si supponga che la fune abbia un carico di rottura pari a 4Mg e che un uomo di massa 10M cominci a salire sulla scala. Che altezza h rispetto al pavimento
può raggiungere l’uomo prima che la fune si rompa?

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Esercizio d

 Un estremo di una sbarra omogenea di massa 150 kg e lunghezza 25 m è incernierato a una parete verticale. La sbarra è mantenuta orizzontale da una fune
agganciata alla sbarra a 15 m dalla parete. All’estremo libero della sbarra è appeso un blocco di massa 20 kg.
a) Si determini la tensione della fune.
b) Si determinino la componente orizzontale e verticale della forza agente sulla cerniera in A.
c) Se il carico di rottura della fune è 3000 N, si determini la distanza minima dalla parete alla quale è possibile agganciare la fune senza che questa si rompa.

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Esercizio e

 Un’asta omogenea di lunghezza 10 m e massa 100 kg è incernierata a terra ad un estremo ed è mantenuta con un’ inclinazione di 60º rispetto a terra da una fune orizzontale agganciata al secondo estremo dell’asta e sorretta da un uomo su un ponteggio. Se l’uomo ha massa 80 kg, quale deve essere il valore minimo del coefficiente di attrito statico tra le scarpe dell’uomo e le tavole del ponteggio affinché sia in grado di sorreggere l’asta?

Esercizio f

Due blocchi, 1 e 2 di uguale massa m, scivolano su un piano inclinato. Il blocco 1 si trova più in alto sul piano inclinato rispetto al blocco 2. I due blocchi sono collegati da una fune che, se in tensione, è parallela al piano inclinato. Siano m 1 e m 2 i coefficienti di attrito dinamico rispettivamente del blocco 1 e 2. Sia a l’angolo di inclinazione del piano rispetto all’orizzontale.
a) in che relazione devono essere m 1 e m 2 affinché la corda rimanga tesa durante lo scivolamento?
b) nelle condizioni di cui al punto a) si calcoli.
b1) la tensione della fune.
b2) l’accelerazione di ciascun blocco.
b3) il valore dell’angolo a per cui i blocchi scendono con velocità costante.

Risultati:
a) m 1>m 2;
b1) T = mg cosa (m 1-m 2)/2 ;
b2) a = g sina - g cosa (m 1+m 2)/2 ;
b3) a = arctg[(m 1-m 2)/2]. 

Esercizio g

Il rotor è un’attrazione da luna park costituita da un cilindro cavo che ruota rispetto ad un asse verticale passante per il centro. Le persone entrano nel rotor e si appoggiano contro la parete interna del cilindro, il cilindro viene quindi messo in rotazione e quando la velocità angolare raggiunge un certo valore il pavimento del rotor viene abbassato e le persone, per attrito statico con la parete, rimangono sollevate dal pavimento. Il rotor abbia un raggio di 2 m, il coefficiente di attrito statico sia m s=0.4 e si supponga che il rotor parta da fermo con accelerazione angolare costante pari a a =0.05 rad/sec2.
a) dopo quanto tempo può essere abbassato il pavimento del rotor e quanti giri ha eseguito il rotor a questo punto?
b) un ragazzo forzuto, che in palestra riesce, sdraiato, a tenere sollevato un bilanciere di 100 kg, è in grado di reggere la sua ragazza, che pesa 40 kg, staccata dalla parete quando il pavimento del rotor viene abbassato?

Risultati:
a) t=70 s, num. giri = 19.5;
b) il ragazzo deve sorreggere sia il peso della ragazza, P = mg = 392 N diretto verso il basso, che il peso apparente dovuto alla forza centrifuga, Fc = mw 2R diretto verso la parete del rotor e perpendicolare ad essa (qui w è la velocità angolare del rotor nell’istante in cui il pavimento del rotor viene abbassato e R è il raggio del rotor). La forza risultante ha intensità F = 1055 N che è maggiore della forza massima che può esercitare.

Prova di esame del 16_04_2004