Caduta in un centro di forza centrale attrattivo anche nel caso di momento angolare non nullo

In un campo di forze centrali attrattive, una particella di momento angolare L = 0, cade nel centro di forza. Invece, nel caso in cui in cui il momento angolare sia non nullo, L ¹ 0, la presenza dell'energia centrifuga, tendente all'infinito come 1/r² per r ® 0, cioè:

rende impossibile la caduta della particella nel centro del campo, a meno che l'energia potenziale U = U(r) tenda a meno infinito, al tendere di r a zero, con sufficiente rapidità. A decidere è il bilancio tra l'energia centrifuga, L²/2mr², positiva ed il potenziale effettivo, U = U(r), negativo, che entrano nel computo dell'energia potenziale efficace.

Vediamo che dipendenza deve avere U(r) affinché ciò accada.
Ricordando che l'energia meccanica è data dalla somma dell'energia cinetica radiale E_r e dell'energia potenziale efficace U_eff,

considerando che E_r è comunque maggiore di 0, si ha:

e, moltiplicando per r², si ha:

ovvero

r può prendere valori tendenti a zero solo se 

cioè U(r) deve tendere a come -a/r² dove a > L²/(2 m), oppure deve essere proporzionale ad 1/rⁿ con n >2.

Consideriamo la simulazione riportata nella figura seguente (fig. 1) relativa ad un campo di forza di energia potenziale U(r) proporzionale ad 1/r². Al variare delle condizioni iniziali, ovvero al variare di L, si può avere che a > L²/(2 m), come il caso rappresentato in figura 1, o che a < L²/(2 m), situazione   per cui la particella ha un'orbita aperta che la porta lontana dal centro di forza.

Fig. 1 Caso in il cui  U(r) tende a come -a/r² con a > L²/(2 m). (Il tratto non orizzontale della curva H = H(r) si verifica quando la massa m cade nel centro di forza).

Per certi potenziali le orbite possono essere legate o non legate per uno stesso valore dell'energia totale. Questa possibilità si ha per qualsiasi energia potenziale che tende a zero, all'aumentare di r, più rapidamente di -1/r². In Fig. 2 è riportata l'energia potenziale efficace di una particella in un campo in cui il potenziale reale U = U(r) = - k/r³ con k > 0. Per , una particella di energia totale H avrà un'orbita legata e finirà per cadere nel centro di forza; per avrà un'orbita non legata con punto di inversione in  in r = r₂. La regione è classicamente interdetta.

Fig. 2 , la particella di  energia meccanica H si muove su di un'orbita non legata; , la particella cade nel centro di forza.
, regione classicamente interdetta al moto.