Fig. 1
Moto di una particella in un campo di forze centrali descritto dall'equazione F = k/r2+a
Quale è la traiettoria di una particella in un
campo di forze centrali la cui equazione non è esattamente uguale all'inverso del
quadrato della distanza, come nel caso della legge di gravitazione universale?
Cosa succede per esempio se
F = k/r2+a
con a <1.
Indicando con m ed M le masse delle due particelle interagenti, nell'ipotesi che M
>> m e che l'energia meccanica totale sia negativa, (k µ - m M ), la massa più piccola
si muove attorno alla massa M descrivendo un'orbita che, generalmente, è legata ma non
chiusa. Un'orbita di questo tipo è riportata in Fig. 1 per un valore di a = 0.1. In figura 1 è anche riportato l'andamento del modulo della
forza in funzione della distanza r nei due casi: a = 0 ed a = 0.1.
Si dimostra che, anche una piccolissima differenza di a da zero ha considerevoli ripercussioni sul moto: per a = 0 si ha un'orbita ellittica, mentre per a ¹ 0 l'orbita è legata ma non chiusa. (Precessione del perielio nel pianeta Mercurio)
Fig. 1
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L'orbita è legata in quanto la distanza tra le due masse è compresa fra un valore minimo rmin ed uno massimo rmax (Fig. 2). Le distanze rmin ed rmax rappresentano punti di inversione del moto radiale. L'orbita è tangente ai cerchi aventi raggi rmin ed rmax perché in questi punti la velocità radiale è zero, ma la velocità normale non può essere zero dal momento che la particella m ha un momento angolare L diverso da zero, che si conserva durante tutto il moto. Partendo da uno dei punti per cui r = rmax il raggio vettore percorre la traiettoria sino al punto in cui r = rmin, quindi ripercorre una porzione disposta simmetricamente sino al punto successivo in cui r = rmax.
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Fig.2 Caso in cui a = -0.06. Il moto della
particella m è legato in quanto la sua distanza dalla massa M è compresa fra un raggio
minimo rmin ed uno massimo rmax. In generale l'orbita non è
chiusa, come è mostrato in figura: il raggio vettore che individua la particella m ha
percorso due giri completi descrivendo traiettorie non sovrapposte. |
In quali casi l'orbita è chiusa? Consideriamo la particella dopo che ha raggiunto il punto A in
figura 3. La sua traiettoria prosegue sino al punto C dove diviene tangente al cerchio di
raggio rmin per raggiungere il punto B dove torna ad essere tangente alla
traiettoria di raggio massimo. Indichiamo con Tr il tempo impiegato dalla
particella per compiere il tratto di traiettoria ACB. Questo tempo viene denominato
periodo radiale; dopo Tr il moto si ripete nello stesso senso. Consideriamo poi
il tempo Tq che il raggio vettore impiega per
effettuare un giro completo, per esempio partendo da A e ritornando nella stessa posizione
angolare dopo aver descritto un angolo di 360°. Questo tempo viene denominato periodo
angolare. In generale dopo Tq la particella non
riprende la posizione del giro precedente, cioè l'orbita non è chiusa. Nel caso in
figura Tq > Tr. Quando l'orbita è semplicemente ellittica? Nel caso i due periodi sono esattamente uguali. In questo caso la chiusura dell'orbita avviene dopo un solo periodo radiale ed un periodo angolare corrispondente ad un incremento di q pari a 2p. In questo caso i punti A e B in figura coincidono. E' questa una situazione unica e quindi del tutto improbabile! Essa si verifica nel caso in cui il coefficiente a = 0, cioè nel caso di forze attrattive proporzionali all'inverso del quadrato di r. Le più importanti forze in natura, quella gravitazionale e quella elettrostatica, producono orbite così speciali! |
Fig. 3 a = 0.1 |
