- Seminario da 3 crediti per 1
studente, tenuto da
- Diego Tommasi
- Personaggi principali
- Archimede, Peano,....
- Letture
- [Archimede] Archimede: "Opere" (a cura di A. Frajese, UTET, Torino)
- "Misura del cerchio", pp. 213-231 (leggere)
- "Quadratura della parabola", pp. 471-515 (leggere)
- Mamikon A. Mnatsakanian:
- [M1981] "On the area of a region on a developable surface", Doklady Armenian Acad. Sci., 73 (1981), 97-101. (leggere tutto)
- [M1997] "Annular Rings of Equal Area", Math Horizons, Vol. 5, No. 2 (November 1997), pp. 5-8. (leggere tutto)
- [Mweb1] "A visual calculus by Mamikon" e, in particolare, "Geometric Nature", pagine web a cura di Mamikon. (navigare)
- Tom M. Apostol:
- [A2000a] "A visual approach to calculus problems", Engineering and Science, 63, No. 3 (2000), 22-31
- [A2000a_web] "A visual approach to calculus problems" (versione web di [A2000a]) (navigare)
- Tom M. Apostol, Mamikon A. Mnatsakanian:
- [AM1998b] "Surprising geometric properties of exponential functions", Math Horizons, Vol. 6, No. 1 (September 1998), pp. 27-29 (leggere tutto)
- [AM2002a] "Subtangents -- An Aid to Visual Calculus", The American Mathematical Monthly, Vol. 109, No. 6 (Jun. - Jul., 2002), pp. 525-533. (leggere tutto)
- [AM2002b] "Tangents and Subtangents Used to Calculate Areas", The American Mathematical Monthly, Vol. 109, No. 10 (Dec., 2002), pp. 900-908. (leggere tutto)
- [AM2008b] "The method of sweeping tangents", Mathematical Gazette, 92, November 2008, 396-417, (leggere le parti riguardante il calcolo delle aree)
- [AM2009] "New Insight into Cycloidal areas", The American Mathematical Monthly, 116 (2009), pp. 598-611 (leggere tutto)
- Letture di contorno
- Joh. Bernoulli: Lectiones mathematicae de methodo integralium (1742)
- G. Peano: "Formule generali per le aree" (in "Applicazioni geometriche", Torino, 1887; cap. V, § 9 n. 47-48 pp. 237-242)
- [Gre_Maz_Pag] G.H. Greco, S. Mazzucchi, E. Pagani: "Peano on definition of Surface Area", forthcoming
- Tom M. Apostol, Mamikon A. Mnatsakanian:
- [AM1998a] "Triangles in Rectangle", Math Horizons, Vol. 5, No. 3 (February 1998), pp. 29-31. *
- [AM1999] "Cycloidal Areas without Calculus", Math Horizons, Vol. 7, No. 1 (September 1999), pp. 12-15, 18,
- [AM2000b] "Finding Centroids the Easy Way", Math Horizons, Vol. 8, No. 1 (September 2000), pp. 7-12.
- [AM2001] "Good Rational Approximations to Logarithms", The College Mathematics, Vol. 32, No. 3 (May, 2001), pp. 172-179,
- [AM2002c] "Surprisingly Accurate Rational Approximations", Mathematics Magazine, Vol. 75, No. 4 (Oct., 2002), pp. 307-310,
- [AM2002d] "Generalized Cyclogons", Math Horizons, Vol. 10, No. 1 (September 2002), pp. 25-28
- [AM2003a] "Area & Arc Length of Trochogonal Arches", Math Horizons, Vol. 11, No. 2 (November 2003), pp. 24-30,
- [AM2003b] "Sums of Squares of Distances in m-Space", The American Mathematical Monthly, Vol. 110, No. 6 (Jun. - Jul., 2003), pp. 516-526,
- [AM2004a] "A Fresh Look at the Method of Archimedes", The American Mathematical Monthly, Vol. 111, No. 6 (Jun. - Jul., 2004), pp. 496-508,
- [AM2004b] "Figures Circumscribing Circles", The American Mathematical Monthly, Vol. 111, No. 10 (Dec., 2004), pp. 853-863,
- [AM2004c] "Isoperimetric and Isoparametric Problems", The American Mathematical Monthly, Vol. 111, No. 2 (Feb., 2004), pp. 118-136,
- [AM2004d] "Centroids Constructed Graphically", Mathematics Magazine, Vol. 77, No. 3 (Jun., 2004), pp. 201-210
- [AM2006a] "Solids Circumscribing Spheres", The American Mathematical Monthly, Vol. 113, No. 6 (Jun. - Jul., 2006), pp. 521-540
- [AM2006b] "Proof without Words: Surprising Property of Hyperbolas", Mathematics Magazine, Vol. 79, No. 5 (Dec., 2006), p. 339
- [AM2007] "Unwrapping Curves from Cylinders and Cones", The American Mathematical Monthly, Vol. 114 (May, 2007), pp. 389-416
- [AM2008a] "New Descriptions of Conics via Twisted Cylinders, Focsl Disks, and Directors", The American Mathematical Monthly, Vol. 115 (November, 2008), pp. 795-812
- [AM2009a] "A New Look at the So-Called Trammel of Archimedes", The American Mathematical Monthly, Vol. 116 (February, 2009), pp. 115-133
- Ricerche bio/bibliografiche
- inquadrare storicamente i matematici e scienziati che si incontrano nei testi da leggere.
- cercare e classificare gli articoli trovati in rete, a proposito della formula dell'area di Mamikon, a volte riferita come "Mamikon's sweeping-tangent Theorem", o semplicemente, "Mamikon's theorem".
- Obiettivo minimo:
- Enunciare e dimostrare il teorema di Peano-Mamikon come lo si trova in [AM2002a] (vedi anche [AM2008b]). Nel dare la dimostrazione precisare all'occorrenza i termini e i passaggi logici, usati dagli autori dell'articolo, mediante i
dovuti rimandi a definizioni e teoremi del calcolo integrale per più variabili, visti nel corso di Analisi
Matematica
- Illustrare il teorema di Peano-Mamikon con gli
esempi presenti nelle pagine web (vedi [Mweb1] e [A2000a_web]) negli scritti di Apostol e Mamikon, cercando di
evidenziarne il ruolo fortemente intuitivo svolto nel calcolo delle
aree. Classificare gli esempi, mettendo in risalto i concetti ausiliari
su cui poggiano; per esempio, raggrupparli in
- esempi di calcolo di aree di figure classiche:
- corona circolare e, più in generale, anelli ovali generati da curve chiuse-convesse --> vedi [M1997], [AM2008b], ...
- segmenti parabolici (= insiemi delimitati da potenze ad esponente costante positivo e da segmenti) --> vedi [A2002b], [AM2008b], ...
- segmenti iperbolici (= insiemi delimitati da potenze ad esponente costante negativo e da segmenti) --> vedi [A2002b], ...
- esempi di calcolo di aree collegate a curve classiche:
- curve cicloidali (= cicloide, epi-cicloide, ipo-cicloide), --> vedi [AM2009], [AM2008b], ...
- trattrice --> vedi [AM2008b]
- esponenziale (= funzioni potenza, più in generale) --> vedi [AM1998b], [A2002a], ...
- esempi di calcolo di aree di figure curiose:
- curve d'inseguimento (pursuit curve)--> vedi [AM2008b], ...
- biciclide (bicyclix) --> vedi [AM2008b], ...
- esempi di calcolo di aree evolute-involute (es. involuta di una circonferenza, evoluta di una trattrice, catenaria) --> vedi [AM2008b], ...
- Delle curve menzionate si dia qualche informazione storica, raccolta da Famous Index Courves, mathcurve.com o da altre fonti scritte o di rete. Per esempio, ricordare che
- l'area dei cerchi e dei segmenti parabolici era calcolata da Archimede (leggere "Misura del cerchio" e "Quadratura della parabola" in [Archimede])
- la cicloide ha una storia ricca; è
studiata da Galileo, Torricelli, Fermat, Cartesio, Huygens, Bernoulli e
Newton. È la
soluzione dei problemi della tautocrona di Huygens e della della
brachistocrona di Bernoulli.
- la trattrice, introdotta da Perrault, fu studiata da Leibniz e Huygens; servì a Beltrami per cosrtuire un modello euclideo di geometria non-euclieda: la pseudosfera.
- ecc., ecc.
- Tracciare un breve profilo biografico dei matematici e scienziati incontrati nei testi da leggere.
- Elencare gli articoli, trovati in rete, che parlano della formula dell'area di Mamikon
- Contesto (da cui prende le mosse il seminario)
- Nel
1882
Schwarz e Peano scoprono, indipendentemente l'uno dall'altro, che l'area di una
superficie non può essere concepita, nemmeno nel caso
di una superficie cilindrica, come limite delle superfici
poliedrali inscritte. Già nel 1887 Peano dà una
nuova definizione di area e prova la "formula dell'area" di Lagrange, cosicché la
nuova definizione di area, data da Peano, estende l'usuale area del cilindro e di tutte le altre figure
elementari. È significativo che
Peano premetta alla formula dell'area una
(*) "formula dell'area di insiemi piani descritti dal movimento di un segmento AB di lunghezza variabile
che non passa mai due volte per uno stesso punto.
L'originalità di Peano è riscontrabile sia nella dimostrazione di (*) che nelle conseguenze che ne trae; la dimostrazione tramite l'algebra esterna affine (fondata da Grassmann e rivisitata dallo stesso Peano) poggia sul calcolo dell'elemento infinitesimale d'area mentre tra le conseguenze Peano specializza la formula (*) nei casi in cui il segmento AB soddisfa una delle seguenti condizioni
(1ª) l'estremità A percorre un tratto rettilineo con cui il segmento AB mantiene lo stesso angolo;
(2ª) l'estremità A del segmento non varia di posizione;
(3ª) il segmento AB si muove in guisa da riuscire tangente in A alla curva descritta dal punto di A;
(4ª) il segmento AB ha lunghezza costante e si mantiene normale alla curva descritto dal punto medio di AB.
In particolare, Peano scrive (vedi immagine sotto):
Se il segmento AB si muove in guisa da riuscire sempre tangente in A alla curva descritta dal punto A,
[...] d'altra parte se da un punto fisso O si conduce un vettore variabile OP ≈ AB,
[...] l'area descritta dal segmento AB è eguale all'area descritta dal segmento equipollente OP.
In [Gre_Maz_Pag] si osserva che, sorprendentemente (vedi immagine sotto), questa formula, data da Peano nel 1887, viene riscoperta nel 1981 da Mamikon; ci riferiremo ad essa come "teorema di Peano-Mamikon".
teorema di Peano (1887)
teorema di Mamikon (1981)
- Nel suo articolo del 1981 Mamikon traccia i primi e più significativi esempi di calcolo di aree; esempi che saranno ampiamente esaltati ed parcellizzati in una lunga serie di lavori congiunti di Apostol e Mamikon. Le curve coinvolte in questi esempi sono numerose: l'ellisse, la parabola, l'iperbole, la trattrice, la trattrice generalizzata (detta bicyclix), l'esponenziale, la cicloide, le curve di inseguimento, le spirali (archimedea e logaritmica), l'epicicloide, l'ipocicloide, la catenaria, le curve pedali, involute ed evolute (vedi [M1981]).
- Esposizione orale
- 17 maggio 2012,
ore 16:30 in aula 222 (edificio Fabio Ferrari)
- Links
- alla relazione scritta e all'esposizione