UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI TRENTO

Dipartimento di Matematica

LRM³D²

Laboratorio di Ricerca sui Materiali e i Metodi per la Didattica e la Divulgazione della Matematica

Le lamine di sapone

Che cosa succede se immergiamo un anello metallico in una soluzione saponata, ottenuta aggiungendo detersivo concentrato all'acqua nella proporzione 1:15? Si forma una lamina piana che ricopre l'area interna al bordo metallico. Possiamo osservare dei fenomeni ancor più interessanti con piccole (ma ingegnose!) modifiche. Leghiamo all'anello metallico un filo di cotone a forma di laccio e immergiamolo mantenendolo allargato: otteniamo di nuovo una lamina piana, dentro la quale il filo di cotone si muove liberamente. Buchiamo la lamina all'interno del laccio, usando ad esempio un bastoncino asciutto (se è   bagnato attraversa la lamina senza farla scoppiare). All'improvviso il filo si tende fino a formare una circonferenza: è questa la forma geometrica che, nel piano, a parità di perimetro, racchiude la massima area (proprietà isoperimetrica del cerchio), lasciando così all'esterno, dove è tesa la pellicola di sapone, la minima superficie possibile.

La lamina saponosa che si forma all'interno di un contorno metallico è soggetta ad una forza per unità di lunghezza, detta tensione superficiale, tangente alla superficie della lamina stessa. Nel momento in cui rompiamo la pellicola interna al filo, la forza esercitata dalla lamina esterna, perpendicolarmente in ogni punto del filo, non è più equilibrata dalla tensione della lamina dalla parte opposta. Il filo si tende e si ottiene una configurazione di area minima. In generale, qualunque sia il contorno metallico considerato, le lamine saponose realizzano una superficie di area minima avente quel contorno. Anche se la forma del contorno metallico è molto semplice (due anelli mantenuti ad una certa distanza, una "cuffia", un'elica...), non è facile indovinare la soluzione; le superfici ottenute immergendo un telaio formato dagli spigoli di un poliedro regolare o da strutture più complesse, con parti mobili o allungabili, sono veramente affascinanti e si prestano a interessanti studi in vari campi, dalla fisica alla biologia all'architettura. Il mondo delle bolle e delle lamine di sapone non finisce di meravigliare, per la varietà e la bellezza delle forme che si possono creare.

Esperimenti con lastre e pioli

Vediamo come è possibile usare la proprietà di area minima delle lamine saponose per realizzare un "modello concreto" di un problema di ottimizzazione, particolarmente interessante per le proprietà geometriche che si possono osservare. Come spesso accade, il problema matematico corrisponde ad una "situazione ideale" che un sistema fisico difficilmente può riprodurre: in questo senso, il risultato di un esperimento non è esattamente "la soluzione" del nostro problema, che dovrà essere trovata usando procedimenti geometrici o analitici. Dagli esperimenti otteniamo però una grande quantità di informazioni, che possono correggere o rafforzare la nostra intuizione e indicarci la giusta strada verso la soluzione. Problema: determinare il percorso avente lunghezza totale minima fra quelli che congiungono un certo numero di punti assegnati su un piano.

Ovviamente, se i punti assegnati sono due, la soluzione è data dal segmento che li congiunge. Vediamo allora come questa situazione può essere ricostruita usando le lamine di sapone. Costruiamo a tale scopo una struttura consistente in due lastre trasparenti piane e parallele, separate da una distanza fissa e tenute unite da due pioli perpendicolari alle lastre. La simmetria della struttura (il discorso è notevolmente più complicato quando le lastre non sono parallele) aiuta ad intuire cosa accadrà se immergiamo le lastre in una bacinella d'acqua saponata e le estraiamo: fra di esse si formerà una lamina attaccata ai due pioli. Per quanto abbiamo osservato nel paragrafo precedente, essa avrà area minore di ogni altra lamina compresa fra le due lastre e delimitata dai due pioli. La lamina che si ottiene avrà la forma di un nastro rettangolare perpendicolare alle lastre, di altezza uguale alla loro distanza e di lunghezza L, uguale alla distanza tra i pioli. L'area della lamina assume in tal modo il valore più piccolo possibile, ed essendo l'altezza del nastro costante risulta che L è la lunghezza più piccola possibile di una curva nel piano (cioè disegnata su una lastra) che congiunge gli estremi dei due pioli: la lamina di sapone che collega i pioli, osservata attraverso la lastra trasparente, "disegna" appunto un segmento. Quindi il sistema di lastre e pioli fornisce un metodo per "risolvere" il problema del cammino più breve tra due punti fissati. Che cosa succede se immergiamo due lastre tenute separate da tre pioli situati nei vertici di un triangolo? Quello che otteniamo è un sistema di tre lamine rettangolari, ognuna attaccata ad un singolo piolo, che si incontrano lungo una linea perpendicolare alle lastre.

Si può notare che l'angolo formato da ciascuna coppia di lamine è di 120°, angolo che si può facilmente misurare appoggiando un goniometro su una delle lastre. Modificando le posizioni dei pioli ci accorgiamo che la soluzione è caratterizzata da angoli di 120° (a meno di situazioni particolari, facilmente spiegabili). Osservando attraverso la lastra trasparente, notiamo che le lamine disegnano sul piano il cammino di minima lunghezza totale che congiunge i tre punti, formato da tre segmenti che si intersecano a 120° in uno speciale punto interno al triangolo (usualmente chiamato "punto di Fermat"). Benché meno noto degli altri punti notevoli del triangolo (baricentro, ortocentro, ...), il punto di Fermat ha molte interessanti proprietà geometriche. Riuscite ad intuire qual è la sua posizione, rispetto agli altri punti notevoli, in un triangolo isoscele? In generale si può usare questo metodo sperimentale, basato sulla proprietà di area minima delle lamine saponose, per studiare il percorso di minima lunghezza totale che collega un certo numero di punti assegnati. C'è da dire che spesso la configurazione di lamine che si forma fra le piastre non fornisce il valore minimo in assoluto, ma solo un "minimo relativo". Provate a pensare qual è la configurazione di strade di lunghezza totale minima, che collegano quattro città disposte nei vertici di un quadrato. Ci sarà, come nel caso del triangolo, un punto interno da cui partono delle diramazioni verso i vertici? Avete trovato la soluzione? Provate a vedere se assomiglia a quella ottenuta con l'acqua saponata e con due lastre di plexiglas parallele, unite da quattro pioli sistemati nei vertici di un quadrato. E se i pioli sono situati nei vertici di un pentagono o di un esagono? Per trovare la soluzione sarà utile ricordare la seguente Proprietà generale (nota come prima legge di Plateau, dal nome del fisico belga dell’Ottocento che studiò approfonditamente questi fenomeni, compiendo esperimenti di grande interesse): le soluzioni sono composte da segmenti che formano un certo numero di intersezioni, incontrandosi sempre tre a tre a 120°. Fisicamente, possiamo spiegare una tale disposizione simmetrica delle lamine come una conseguenza dell'equilibrio di tre forze uguali: le tre tensioni superficiali che agiscono sulle tre lamine. Ecco un altro esperimento in cui si presenta una tale configurazione di forze. 

Un problema meccanico: forze in equilibrio nel piano

Consideriamo un sistema formato da masse sospese, fili e carrucole e vediamo quale proprietà di minimo soddisfa. Fissiamo due carrucole ad un'asta orizzontale in modo che possano ruotare in un piano verticale. Su ciascuna facciamo passare un filo; ad una estremità di ogni filo leghiamo una massa e uniamo le altre due estremità fra di loro e ad un terzo filo, cui è legata una terza massa identica alle precedenti. Nel punto di unione dei tre fili agiscono dunque tre forze della stessa intensità, dirette lungo i fili, nel piano verticale delle carrucole: una volta che il sistema ha raggiunto l'equilibrio i fili si dispongono in modo da formare angoli di 120°. Mettendo le carrucole ad altezze diverse e allontanandole o avvicinandole otteniamo sempre una configurazione caratterizzata da angoli di 120°. Un risultato analogo si ottiene considerando tre carrucole nello spazio su cui scorrono tre fili, uniti in un punto comune, cui sono legate tre masse uguali. Le carrucole individuano i vertici di un triangolo in un piano orizzontale oppure obliquo: ancora una volta, l'equilibrio è raggiunto in corrispondenza di angoli di 120°. Il punto di unione dei fili individua il punto di Fermat del triangolo. L'equilibrio è stabile, come si vede spostando il punto di unione dei fili e lasciandolo poi libero di muoversi: dopo alcune oscillazioni, il sistema ritorna nella configurazione precedente. L’energia potenziale del sistema assume il minimo valore.

Autori: prof. Italo Tamanini (tamanini@science.unitn.it), dr. Marta Cazzanelli , dr. Katuscia Soraruf, dr. Sara Bonetti .

LRM³D², Laboratorio di Ricerca sui Materiali e i Metodi per la Didattica e la Divulgazione della Matematica
Dipartimento di Matematica, via Sommarive, 14 – 38050 Povo (TN)
Tel. 0461/281511 – 0461/281599

e-mail: matita@science.unitn.it

Ringraziamo: i tecnici dell’officina meccanica del Dipartimento di Fisica dell’Università di Trento, per la realizzazione dei contorni metallici; l’Istituto d’Arte “A. Vittoria” di Trento, per la realizzazione delle lastre dei percorsi minimi ed altri strumenti; Claudio Cestari per la progettazione e realizzazione delle macchine per lo studio di forze in equilibrio.

Testi di riferimento sviluppati dal Laboratorio:

Tamanini I., Superfici minime e lamine di sapone: un secolo di divulgazione scientifica, Matematica e Cultura 2002, a cura di M. Emmer, Springer, Milano, 2002