Geometria

Quarto appello, a.a. 2001/2002
compito 1

Date: 17 giugno 2002

Esercizio 1   Sia $A$ la matrice

$$A = \begin{pmatrix} 5 &3 &1 \ -4 &-2 &-1\ -7 & -5 &-1 \end{pmatrix}$$

1. Determinare il polinomio caratteristico di $A$.
2. Determinare gli autovalori di $A$.
3. Determinare basi per gli autospazi di $A$.
4. Dire, motivando la risposta se $A$ è diagonalizzabile o no.

Soluzione

Esercizio 2   Sia $A$ la matrice

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 2 & 3 \ 2 & 8 & 5 & 9 \ -2 & -8 & -6 & -12 \end{pmatrix}$$

1. Determinare il rango di $A$.
2. Determinare una base per il nucleo e per l'immagine di $A$.
3. Detto $b_k=\left( \begin{matrix} -2k \ -3k-2 \ 3k+5 \end{matrix} \right)$, dire, motivando la risposta, per quali valori di $k\in\mathbb{R}$ il sistema lineare $Ax=b_k$ ammette soluzione ed in tal caso determinarle tutte.

Soluzione

Esercizio 3   Sia $W\subseteq\mathbb{R}^4$ il sottospazio generato dai vettori

$$w_1 = \left(\begin{matrix}1 \ 0 \ 1\ 0\end{matrix}\right) \qquad w_2 = \left(\begin{matrix}0 \ 1 \ 1\ 0\end{matrix}\right)$$

1. Determinare una base ortonormale di $W$.
2. Determinare una base di $W^\bot$
3. Detto $v=\left(\begin{matrix}3\ 6\ 3\ -3\end{matrix}\right)$, determinare la decomposizione ortogonale di $v$ come somma $v=v_1+v_2$ con $v_1\in W$ e $v_2\in W^\bot$

Soluzione

Esercizio 4   Sia $r$ la retta di equazioni cartesiane

$$r := \left\{ \begin{array}{l} x+y+z =0 \\ 2x-y-z =3 \end{array}\right.$$

e $P = (1,2,-1)$.

1. Determinare la retta $s$ passante per $P$, incidente ad $r$ ed ortogonale a $r$.
2. Determinare il piano $\Pi$ passante per $P$ ed ortogonale a $s$.
3. Dire, motivando la risposta, se esiste un piano contenente $r$ e parallelo a $\Pi$ ed in caso di risposta affermativa, determinarlo.

Soluzione