Geometria

Quinto appello, a.a. 2001/2002

Date: 11 luglio 2002

Esercizio 1   Sia $A$ la matrice

$$A = \begin{pmatrix} -2& 4& 8\\ 3& -6& 4\\ 4& -8& -8 \end{pmatrix}$$

1. Determinare il polinomio caratteristico di $A$.
2. Determinare gli autovalori di $A$.
3. Determinare la dimensione degli autospazi di $A$.
4. Dire, motivando la risposta se $A$ è diagonalizzabile o no.

Soluzione

Esercizio 2   Sia $A$ la matrice

$$A = \begin{pmatrix} 1& 2& -4& 0\\ 2& 4& -7& -4\\ -3& -6& 10& 8 \end{pmatrix}$$

1. Determinare il rango di $A$.
2. Determinare una base per il nucleo e per l'immagine di $A$.
3. Detto $b_k=\left( \begin{matrix} 2k\\ 5k+1\\ -7k-2 \end{matrix} \right)$, dire, motivando la risposta, per quali valori di $k\in\mathbb{R}$ il sistema lineare $Ax=b_k$ ammette soluzione ed in tal caso determinarle tutte.

Soluzione

Esercizio 3   Sia $W\subseteq\mathbb{R}^4$ il sottospazio generato dai vettori

$$w_1 = \left(\begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1\\ 1\end{matrix}\right) \qquad w_2 = \left(\begin{matrix}1 \\ 2 \\ 2\\ 0\end{matrix}\right)$$

1. Determinare una base ortonormale di $W$.
2. Determinare una base di $W^\bot$
3. Detto $v=\left(\begin{matrix}12\\ 8\\ 8\\ 16\end{matrix}\right)$, determinare la decomposizione ortogonale di $v$ come somma $v=v_1+v_2$ con $v_1\in W$ e $v_2\in W^\bot$

Soluzione

Esercizio 4   Sia $r$ la retta di equazioni cartesiane

$$r := \left\{ \begin{array}{l} x+y-z =0 \\ x-3y-z =2 \end{array}\right.$$

e $P = (1,3,-2)$.

1. Determinare il piano $\Pi$ passante per $P$ ed ortogonale a $r$.
2. Determinare la retta $s$ passante per $P$ ed ortogonale a $\Pi$.
3. Dire, motivando la risposta, se esiste un piano contenente $r$ e $s$ ed in caso di risposta affermativa, determinarlo.

Soluzione