Geometria

Sesto appello, a.a. 2001/2002

Date: 17 settembre 2002

Esercizio 1   Sia $A$ la matrice

$$A = \left(\begin{matrix} 5 & -6 & -2\\ 1 & 0 & -1\\ 2 & -6 & 1 \end{matrix}\right)$$

1. Determinare il polinomio caratteristico di $A$.
2. Determinare gli autovalori di $A$.
3. Determinare basi per gli autospazi di $A$.
4. Dire, motivando la risposta se $A$ è diagonalizzabile o no.

Soluzione

Esercizio 2   Sia $A$ la matrice

$$A = \left( \begin{matrix} 1 & 4 & 2 & -2\\ -1 & -4 & -1 & 4\\ 3 & 12 & 7 & -4 \end{matrix} \right)$$

1. Determinare il rango di $A$.
2. Determinare una base per il nucleo e per l'immagine di $A$.
3. Detto $b_k=\left( \begin{matrix} 0 \\ k+2 \\ 2k+4 \end{matrix} \right)$, dire, motivando la risposta, per quali valori di $k\in\mathbb{R}$ il sistema lineare $Ax=b_k$ ammette soluzione ed in tal caso determinarle tutte.

Soluzione

Esercizio 3   Sia $W\subseteq\mathbb{R}^4$ il sottospazio generato dai vettori

$$w_1 = \left(\begin{matrix}2 \\ 1 \\ 0\\ 2\end{matrix}\right) \qquad w_2 = \left(\begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1\\ 1\end{matrix}\right)$$

1. Determinare una base ortonormale di $W$.
2. Determinare una base di $W^\bot$
3. Detto $v=\left(\begin{matrix}8\\ 12\\ 16\\ 8\end{matrix}\right)$, determinare la decomposizione ortogonale di $v$ come somma $v=v_1+v_2$ con $v_1\in W$ e $v_2\in W^\bot$

Soluzione

Esercizio 4   Sia $r$ la retta di equazioni cartesiane

$$r := \left\{ \begin{array}{l} x-3y-2z =0 \\ x-3y+4z =3 \end{array}\right.$$

e $P = (2,3,-2)$.

1. Determinare il piano $\Pi$ passante per $P$ ed ortogonale a $r$.
2. Determinare equazioni della retta $s$ passante per $P$ e parallela a $r$.
3. Tra tutti i piani contenenti $s$ determinarne uno, se esiste, la cui distanza da ogni punto di $r$ sia $4$.

Soluzione