Geometria 1

Primo appello, sessione estiva, 1998/99

14 giugno 1999

Esercizio 1    Siano dati i seguenti punti in $\mathbb R^2$:

$$\begin{array}{lll} P_1=(0,0)& P_2=(2,0) &P_3=(-\sqrt{3},-1,)\\ Q_1=(1,1)&Q_2=(\sqrt{3}+1,2) &Q_3=(0,1-\sqrt{3}) \end{array}$$

Si dimostri che esiste un'unica affinità $F:\mathbb R^2\to \mathbb R^2$ tale che F(P_i)=Q_i. Si dica se F è un'isometria e in tal caso di che isometria si tratta.
Soluzione

Esercizio 2    Siano dati in $\mathbb R^3$ la retta r di equazioni $\{x+y-1=x-y-z=0\}$, il punto P=(1,1,2) e il piano H₁ di equazione $\{x+2y+z=3\}$.

Si trovi, se esiste, un piano H₂passante per P, parallelo a r e perpendicolare a H₁, e si dica se è unico.

Si trovi, se esiste, un piano H₃ passante per P, perpendicolare a r e parallelo a H₁, e si dica se è unico.
Soluzione

Esercizio 3    Si determini il fascio delle coniche per i punti

$$\begin{array}{llll} P_1=(0,3) & P_2=(0,2) & P_3=(2,2) & P_4=(2,3) \end{array}$$

Si dica se esiste una conica del fascio passante per P₅=(1,1) e se è unica; in tal caso, dire di che conica si tratta.
Soluzione

Esercizio 4    Si consideri il prodotto scalare su $\mathbb R^3$ definito dalla matrice

$$\left( \begin{array}{ccc} 1 &-1 &2\\ -1 &2 & 0\\ 2& 0 &-1 \end{array}\right).$$

Se ne trovi la segnatura e una base ortogonale.
Soluzione

Esercizio 5    Sia V uno spazio vettoriale con un prodotto scalare non degenere $\langle~,~\rangle$. Sia W un sottospazio vettoriale di V, e $F:V\to V$ un operatore lineare tale che $F(W)\subset W$. Si dimostri che $F^*(W^\perp)\subset W^\perp$.
Soluzione