Geometria 1

Secondo appello, sessione estiva, 1998/99

14 luglio 1999

Esercizio 1    Siano dati i seguenti punti in $\mathbb P^2$:

$$\begin{array}{llll} P_1=[2,0,0]&P_2=[1,1,0] &P_3=[1,0,1] & P_... ...1=[-1,0,1]&R_2=[1,-1,0] &R_3=[1,0,0] & R_4=[2,-1,1] \end{array}$$

Si dica, motivando la risposta, se

1) esiste una proiettività $\varphi$ tale che $\varphi(P_i)=Q_i$ per ogni i;

2) esiste una proiettività $\varphi$ tale che $\varphi(P_i)=R_i$ per ogni i.

In caso di risposta affermativa se ne determini esplicitamente una e se ne discuta l'unicità.
Soluzione

Esercizio 2    Siano date le rette

$$r=\left\{\begin{array}{l}x+y=1\\ x-2z=0 \end{array}\right.\qquad s=\{(1,1,0)+t(0,0,1)\,\vert\,t\in\mathbb R\}$$

Si verifichi che sono sghembe. Si trovino due piani H₁ e H₂ paralleli tali che $r\subset H_1$ e $s\subset H_2$. Si calcoli la distanza fra H₁ e H₂.
Soluzione

Esercizio 3    Si considerino le coniche

$${\cal C}=\{x^2-4y^2=1\}\qquad{\cal C}_1=\{x^2+3y=4\}\qquad{\cal C}_2=\{2xy-1=0\}$$

e si dica di che coniche si tratta. Si dica se esiste un'affinità che manda ${\cal C}$ in ${\cal C}_1$, e se esiste se ne trovi una. Si dica se esiste un'affinità che manda ${\cal C}$ in ${\cal C}_2$, e se esiste se ne trovi una.
Soluzione

Esercizio 4    Sia V lo spazio vettoriale delle matrici $2\times 2$. Si consideri il prodotto scalare definito da

$$\langle A,B\rangle={\rm tr}(A\,{}^tB).$$

Si trovi una base ortogonale di V rispetto a $\langle ~,~\rangle$.
Soluzione

Esercizio 5    Sia A una matrice ortogonale $3\times 3$ con determinante 1. Si dimostri che esiste $\theta\in\mathbb R$ e M ortogonale $3\times 3$ tale che

$${}^tMAM= \left(\begin{array}{ccc} \cos\theta & -\sin\theta & ... ... \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$$

cioè una rotazione di angolo $\theta$ intorno all'asse z.

Si dimostri la relazione

$$\cos\theta=\frac{1-{\rm tr}\, A}{2}.$$

Soluzione