Geometria 1

Secondo appello, sessione autunnale, 1998/99

29 settembre 1999

Si ricorda che, anche se non esplicitamente richiesto nei testi, tutte le risposte alle domande devono essere adeguatamente motivate con dimostrazioni o confutazioni.

Esercizio 1    Siano dati in $\mathbb R^2$ le rette:

$$\begin{array}{rclcrcl} L & = & \{ x + y = 1\} &\quad& M & = ... ... L' & = & \{ y = 1\} &\quad& M' & = & \{y-2x =1\} \end{array}$$

Si determini, se e siste, una affinità $\varphi$ tale che $\varphi(L)=L'$ e $\varphi(M)=M'$. Tale affinità è unica? Esiste una isometria con le stesse proprietà?
Soluzione

Esercizio 2    Sia r la retta in $\mathbb R^3$ di equazioni

$$\left\{\begin{array}{l} x + 2 z = 3 \\ y - 3 z = 1 \end{array}\right.$$

Si determini un vettore direzione di r. Fra i piani contenenti la retta r si trovi, se esiste:

1.

un piano parallelo alla retta $s=\{t(2,-3,-1)+(1,1,1)\}$;

2.

un piano parallelo al piano $\Pi = \{x + y + z = 5\}$;

3.

un piano perpendicolare al piano $\Pi$.

Si discuta l'unicità dei piani trovati.
Soluzione

Esercizio 3    Siano dati i quattro punti

$$P_1=(0,0)\qquad P_2=(2,2) \qquad P_3=(2,1) \qquad P_4=(1,0).$$

Si determini il fascio delle coniche per P₁,P₂,P₃ e P₄. Si dica se nel fascio ci sono delle parabole e in tal caso quali sono. Si dica se nel fascio ci sono delle circonferenze e in tal caso quali sono.
Soluzione

Esercizio 4    Si consideri il prodotto scalare su $\mathbb R^3$ definito dalla seguente matrice

$$\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 4 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{array} \right)$$

Se ne determini la segnatura ed una base ortogonale.
Soluzione

Esercizio 5    Sia V uno spazio vettoriale reale con un prodotto scalare $\langle,\rangle$ non degenere. Sia $F:V\to V$ un operatore lineare e sia F^*il suo aggiunto. Si provi che $\ker F^* = (F(V))^\perp$.
Soluzione