{VERSION 3 0 "APPLE_PPC_MAC" "3.0" }
{USTYLETAB {CSTYLE "Maple Input" -1 0 "Courier" 0 1 255 0 0 1 0 1 0 0 
1 0 0 0 0 }{CSTYLE "2D Math" -1 2 "Times" 0 1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 
0 }{CSTYLE "2D Output" 2 20 "" 0 1 0 0 255 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }
{CSTYLE "" -1 256 "Symbol" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" 
-1 257 "Symbol" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 258 "" 0 
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 259 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 
0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 260 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }
{CSTYLE "" -1 261 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 262 
"" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 263 "" 0 1 0 0 0 0 1 
0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 264 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }
{CSTYLE "" -1 265 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 266 
"" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{PSTYLE "Normal" -1 0 1 {CSTYLE "" 
-1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 
0 }{PSTYLE "Heading 1" 0 3 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 1 18 0 0 0 0 0 1 0 0 
0 0 0 0 0 }1 0 0 0 8 4 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "Heading 2" 3 4 1 
{CSTYLE "" -1 -1 "" 1 14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }0 0 0 -1 8 2 0 0 
0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "Maple Output" 0 11 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }3 3 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "Map
le Plot" 0 13 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }3 
0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "Title" 0 18 1 {CSTYLE "" -1 
-1 "" 1 18 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 }3 0 0 -1 12 12 0 0 0 0 0 0 19 0 
}}
{SECT 0 {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 18 "" 0 "" {TEXT -1 32 "
Equazioni differenziali in Maple" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}
{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 26 "L'equazione N'(t) = r N(t)" }}
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 196 "Consider
iamo l'equazione differenziale pi� semplice per la crescita di una pop
olazione: N'(t) = r N(t) dove r � detto il tasso di crescita rappresen
ta la differenza fra la natalit� e la mortalit�." }}{SECT 0 {PARA 4 "
" 0 "" {TEXT -1 44 "scriviamo questa equazione chiamiandola \"eq\"" }}
{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 34 "eq := diff(N(t),t) - r * N(t
) = 0;" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 88 "assegnamo ad \"eq\" l'equazione
 usando l'operatore \"diff\" per scrivere la derivata di N(t)" }}
{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#eqG/,&-%%diffG6$-%\"NG6#%\"tGF-\"\"
\"*&%\"rGF.F*F.!\"\"\"\"!" }}}}{SECT 0 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 54 "ri
solviamo l'equazione \"eq\" usando il comando \"dsolve\"" }}{EXCHG 
{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 20 "dsolve(\{eq\},\{N(t)\});" }{TEXT 
-1 0 "" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#/-%\"NG6#%\"tG*&%$_C1G\"\"\"
-%$expG6#*&%\"rGF*F'F*F*" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 66 "la soluzione � scritta in termini di una \+
costante \"_C1\" arbitraria" }}}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 26 "
definiamo il dato iniziale" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 
16 "ini := N(0) = c;" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 11 "" 1 
"" {XPPMATH 20 "6#>%$iniG/-%\"NG6#\"\"!%\"cG" }}}}{SECT 1 {PARA 4 "" 
0 "" {TEXT -1 47 "risolviamo ora l'equazione con il dato iniziale" }}
{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 31 "sol := dsolve(\{eq,ini\},\{N
(t)\});" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%$solG/-%\"NG6#%\"tG*&%\"c
G\"\"\"-%$expG6#*&%\"rGF,F)F,F," }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 
31 "Maple ha scritto la soluzione. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 102 "N
on possiamo per� usare N(t) come una funzione perch� non lo �. Se infa
tti chiediamo di calcolare N(1)" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 
1 0 5 "N(1);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#-%\"NG6#\"\"\"" }}}
{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 51 "non troviamo c exp(r) come ci potr
emmo aspettare..." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 39 "ma Maple prende \"N(
1)\" come un nome...." }}}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 32 "costru
iamo la funzione soluzione" }}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 69 "prim
a di tutto dobbiamo togliere \"N(t)=\" dall'espressione precedente." }
}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 151 "Per fare ci� bisogna capire che \"sol\"
 � la regola di sostituzione. Quindi, anche se sembra involuto, dobbia
mo ssostituire \"sol\" nell'espressione \"N(t)\"" }}}{EXCHG {PARA 0 ">
 " 0 "" {MPLTEXT 1 0 15 "subs(sol,N(t));" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 
20 "6#*&%\"cG\"\"\"-%$expG6#*&%\"rGF%%\"tGF%F%" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 
0 "" {TEXT -1 103 "a questo punto, possiamo rendere questa espressione
 una funzione di t. Il comando per farlo � \"unapply\"" }}}{EXCHG 
{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 18 "f := unapply(%,t);" }}{PARA 11 "" 
1 "" {XPPMATH 20 "6#>%\"fGR6#%\"tG6\"6$%)operatorG%&arrowGF(*&%\"cG\"
\"\"-%$expG6#*&%\"rGF.9$F.F.F(F(F(" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT 
-1 68 "(Abbiamo dovuto specificare di quale argomento volevamo la funz
ione)" }}}}{SECT 0 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 36 "tracciamo il grafico d
ella soluzione" }}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 95 "ovviamente dobbi
amo assegnare dei valori numerici alle costanti r e c per poter fare u
n grafico" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 15 "r:= 0.1; c:= 1
;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%\"rG$\"\"\"!\"\"" }}{PARA 11 "
" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%\"cG\"\"\"" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT 
-1 75 "a questo punto f � una funzione numerica.Possiamo ad esempio ca
lcolare f(1)" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 5 "f(1);" }}
{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#$\"+=4<06!\"*" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 
"" {TEXT -1 31 "e possiamo fare il grafico di f" }}}{EXCHG {PARA 0 "> \+
" 0 "" {MPLTEXT 1 0 19 "plot(f(t),t=0..10);" }}{PARA 13 "" 1 "" 
{GLPLOT2D 297 297 297 {PLOTDATA 2 "6%-%'CURVESG6$7S7$\"\"!$\"\"\"F(7$$
\"1nmm;arz@!#;$\"1GvgZk.A5!#:7$$\"1LL$e9ui2%F.$\"1OdbY\\gT5F17$$\"1nmm
\"z_\"4iF.$\"1#fT9tfS1\"F17$$\"1ommT&phN)F.$\"1Hr`&G_r3\"F17$$\"1LLe*=
)H\\5F1$\"1^LEiEj56F17$$\"1nm\"z/3uC\"F1$\"1^yZ%yaG8\"F17$$\"1++DJ$RDX
\"F1$\"1pPGkJLc6F17$$\"1nm\"zR'ok;F1$\"1Am\"\\\\E6=\"F17$$\"1++D1J:w=F
1$\"1)e/'[$pj?\"F17$$\"1MLL3En$4#F1$\"1SSV5x*GB\"F17$$\"1nm;/RE&G#F1$
\"1#3j2pYnD\"F17$$\"1+++D.&4]#F1$\"1m9jYu9%G\"F17$$\"1+++vB_<FF1$\"1q#
e<$=E78F17$$\"1+++v'Hi#HF1$\"1Zw>&\\P*R8F17$$\"1nm\"z*ev:JF1$\"1KG01]d
l8F17$$\"1MLL347TLF1$\"19H.#p*p'R\"F17$$\"1MLLLY.KNF1$\"1Lbfo2iB9F17$$
\"1++D\"o7Tv$F1$\"1ZdFH**eb9F17$$\"1LLL$Q*o]RF1$\"12/UDl[%[\"F17$$\"1,
+D\"=lj;%F1$\"1<8&[1^o^\"F17$$\"1++vV&R<P%F1$\"1Lsg\"RD$[:F17$$\"1ML$e
9Ege%F1$\"1K$))*o>'=e\"F17$$\"1MLeR\"3Gy%F1$\"1.c]c%)H8;F17$$\"1nm;/T1
&*\\F1$\"1!fh)zw!zk\"F17$$\"1nm\"zRQb@&F1$\"1-G!GGVYo\"F17$$\"1++v=>Y2
aF1$\"17+U5yG<<F17$$\"1nm;zXu9cF1$\"1%>jrpbKv\"F17$$\"1+++]y))GeF1$\"1
!=v7P07z\"F17$$\"1++]i_QQgF1$\"1PlB#\\E\"H=F17$$\"1,+D\"y%3TiF1$\"1fT_
<6em=F17$$\"1++]P![hY'F1$\"1V)H1Jn!4>F17$$\"1LLL$Qx$omF1$\"1[cmrs1[>F1
7$$\"1+++v.I%)oF1$\"1RAPIze!*>F17$$\"1mm\"zpe*zqF1$\"1MeRd*=*H?F17$$\"
1,++D\\'QH(F1$\"1i'*f?z!Q2#F17$$\"1LLe9S8&\\(F1$\"1+43Q,(f6#F17$$\"1,+
D1#=bq(F1$\"1?.C'Qe4;#F17$$\"1LLL3s?6zF1$\"1(p,G?ne?#F17$$\"1++DJXaE\"
)F1$\"1vYezG)QD#F17$$\"1ommm*RRL)F1$\"19U**za6,BF17$$\"1om;a<.Y&)F1$\"
1_n_#[T/N#F17$$\"1NLe9tOc()F1$\"1g*=(>KS+CF17$$\"1,++]Qk\\*)F1$\"1'G]
\"H'[sW#F17$$\"1NL$3dg6<*F1$\"1i$4Z;k?]#F17$$\"1ommmxGp$*F1$\"1\\Xr/78
_DF17$$\"1++D\"oK0e*F1$\"15')HYrh1EF17$$\"1,+v=5s#y*F1$\"1>xB3j&)fEF17
$$\"#5F($\"1X!f%G=G=FF1-%'COLOURG6&%$RGBG$Fdz!\"\"F(F(-%+AXESLABELSG6$
Q\"t6\"%!G-%%VIEWG6$;F(Fcz%(DEFAULTG" 1 2 0 1 0 2 9 1 4 2 1.000000 
45.000000 45.000000 0 }}}}}}{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 35 "L'equ
azione N'(t) = (a-b N(t)) N(t)" }}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 196 
"Questa � l'equazione \"logistica\" che si usa in dinamica di popolazi
oni, in cui si suppone che il tasso di crescita diminuisca (linearment
e) al crescere della densit� di popolazione N. I parametri " }{TEXT 
263 2 "a " }{TEXT -1 2 "e " }{TEXT 264 1 "b" }{TEXT -1 33 " si suppong
ono entrambi positivi." }}}{SECT 0 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 36 "Prima \+
di tutto scriviamo l'equazione" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 
0 43 "eq := diff(N(t),t) - (a-b*N(t)) * N(t) = 0;" }}{PARA 11 "" 1 "" 
{XPPMATH 20 "6#>%#eqG/,&-%%diffG6$-%\"NG6#%\"tGF-\"\"\"*&,&%\"aGF.*&%
\"bGF.F*F.!\"\"F.F*\"\"\"F4\"\"!" }}}}{SECT 0 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT 
-1 37 "Poi la risolviamo con i dati iniziali" }}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "
" {TEXT -1 124 "Possiamo usare il dato iniziale \"ini\" di prima. Dobb
iamo per� ricordarci che \"c\" lo abbiamo assegnato (uguale a 1). Infa
tti " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 4 "ini;" }}{PARA 11 "" 
1 "" {XPPMATH 20 "6#/-%\"NG6#\"\"!%\"cG" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 78 "Per avere la soluzione con un dato iniziale generico, dob
iamo \"deassegnare\" c:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 "
unassign('c');" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 4 "ini;" }}
{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#/-%\"NG6#\"\"!%\"cG" }}}{EXCHG {PARA 
0 "" 0 "" {TEXT -1 10 "Risolviamo" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 31 "sol := dsolve(\{eq,ini\},\{N(t)\});" }}{PARA 11 "" 1 
"" {XPPMATH 20 "6#>%$solG/-%\"NG6#%\"tG*&%\"aG\"\"\",&%\"bG\"\"\"*&*&-
%$expG6#,$*&F+F/F)F/!\"\"F/,&F+F/*&%\"cGF/F.F/F7F/F,F:!\"\"F/F;" }}}}
{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 60 "Scriviamo N(t) come la funzione s
oluzione di questo problema" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 
16 "subs (sol,N(t));" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#*&%\"aG\"\"\",
&%\"bG\"\"\"*&*&-%$expG6#,$*&F$F(%\"tGF(!\"\"F(,&F$F(*&%\"cGF(F'F(F1F(
F%F4!\"\"F(F5" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 18 "N := unapp
ly(%,t);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%\"NGR6#%\"tG6\"6$%)opera
torG%&arrowGF(*&%\"aG\"\"\",&%\"bG\"\"\"*&*&-%$expG6#,$*&F-F19$F1!\"\"
F1,&F-F1*&%\"cGF1F0F1F:F1F.F=!\"\"F1F>F(F(F(" }}}}{SECT 1 {PARA 4 "" 
0 "" {TEXT -1 24 "Facciamo il plot di N(t)" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "
" {MPLTEXT 1 0 28 "a:=0.1; b := 0.01; c := 1.0;" }}{PARA 11 "" 1 "" 
{XPPMATH 20 "6#>%\"aG$\"\"\"!\"\"" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>
%\"bG$\"\"\"!\"#" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%\"cG$\"#5!\"\"" 
}}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 5 "N(1);" }}{PARA 11 "" 1 "" 
{XPPMATH 20 "6#$\"+/(oO4\"!\"*" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 
1 0 28 "plot(N(t),t=0..50, y=0..11);" }}{PARA 13 "" 1 "" {GLPLOT2D 
349 262 262 {PLOTDATA 2 "6%-%'CURVESG6$7S7$\"\"!$\"\"\"F(7$$\"1LLL3x&)
*3\"!#:$\"1vM2M@X-6F.7$$\"1nm\"H2P\"Q?F.$\"1c#H5wk*)>\"F.7$$\"1LL$eRwX
5$F.$\"1'e9\"3a8;8F.7$$\"1ML$3x%3yTF.$\"1bza)[_PW\"F.7$$\"1nm\"z%4\\Y_
F.$\"1yGo@5\"3e\"F.7$$\"1LLeR-/PiF.$\"1-!z-)3:<<F.7$$\"1++DcmpisF.$\"1
V#)za^(z'=F.7$$\"1MLe*)>VB$)F.$\"17E$p&4[M?F.7$$\"1,+DJbw!Q*F.$\"1@Ns*
*e?6AF.7$$\"1nm;/j$o/\"!#9$\"1k)o^q\"=/CF.7$$\"1ML3_>jU6Ffn$\"1q;(QmTM
e#F.7$$\"1++]i^Z]7Ffn$\"1_QO0,R&z#F.7$$\"1++](=h(e8Ffn$\"1/G>0^e=IF.7$
$\"1++]P[6j9Ffn$\"1')[(*>_$HC$F.7$$\"1L$e*[z(yb\"Ffn$\"1Fir)\\URX$F.7$
$\"1nm;a/cq;Ffn$\"1udJQE&Hr$F.7$$\"1nmm;t,m<Ffn$\"1EbXd3QQRF.7$$\"1+]i
Sj0x=Ffn$\"1uxAyuM1UF.7$$\"1nmm\"pW`(>Ffn$\"1$*o<D[cZWF.7$$\"1+]i!f#=$
3#Ffn$\"1Wb/GO?:ZF.7$$\"1+](=xpe=#Ffn$\"1G;M\"H8;(\\F.7$$\"1nm\"H28IH#
Ffn$\"1S\\Q-$)GR_F.7$$\"1n;zpSS\"R#Ffn$\"1O(=I6HR[&F.7$$\"1ML3_?`(\\#F
fn$\"1F@[)zw^u&F.7$$\"1M$e*)>pxg#Ffn$\"1#RUqh%=7gF.7$$\"1+]Pf4t.FFfn$
\"1gOUC8()RiF.7$$\"1LLe*Gst!GFfn$\"1kx/l\\uzkF.7$$\"1+++DRW9HFfn$\"1+3
J[S%*>nF.7$$\"1++DJE>>IFfn$\"1]#zbVRl%pF.7$$\"1+]i!RU07$Ffn$\"1EBF/l<d
rF.7$$\"1++v=S2LKFfn$\"1%eZVf$[!Q(F.7$$\"1nmm\"p)=MLFfn$\"1=$zy5=7d(F.
7$$\"1++](=]@W$Ffn$\"1_#*GTA?kxF.7$$\"1L$e*[$z*RNFfn$\"1o+:wfUHzF.7$$
\"1,+]iC$pk$Ffn$\"1ilcJZ`*4)F.7$$\"1m;H2qcZPFfn$\"1qAdQ=j\\#)F.7$$\"1+
]7.\"fF&QFfn$\"1E_^^lP'R)F.7$$\"1nm;/OgbRFfn$\"1!\\D]Gl+`)F.7$$\"1+]il
AFjSFfn$\"1_yb$*H+g')F.7$$\"1MLL$)*pp;%Ffn$\"1&H\\kkPex)F.7$$\"1LL3xe,
tUFfn$\"1]Fs!fy_)))F.7$$\"1n;HdO=yVFfn$\"1Nxp6bE&)*)F.7$$\"1,++D>#[Z%F
fn$\"1X`3ye/q!*F.7$$\"1nmT&G!e&e%Ffn$\"1,%=TZ]$f\"*F.7$$\"1MLL$)Qk%o%F
fn$\"1&H9)p9bK#*F.7$$\"1,]iSjE!z%Ffn$\"1iXvXT7/$*F.7$$\"1,]P40O\"*[Ffn
$\"1MYZ1tzm$*F.7$$\"#]F($\"1],u&=c#G%*F.-%'COLOURG6&%$RGBG$\"#5!\"\"F(
F(-%+AXESLABELSG6$Q\"t6\"Q\"yFb[l-%%VIEWG6$;F(Fcz;F($\"#6F(" 1 2 0 1 
0 2 9 1 4 2 1.000000 45.000000 45.000000 0 }}}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 145 "Ho dato il comando plot, assegnando anche il range per l
'asse y. Le scelte della lunghezza degli assi � dovuta al fatto che co
nosco la soluzione." }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 143 "Possiamo \+
anche fare il plot congiunto della funzione f(t) ottenuta prima come s
oluzione dell'equazione f'(t) = r f(t) e di questa funzione N(t)" }}}
{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 35 "plot([N(t),f(t)],t=0..50, y=
0..11);" }}{PARA 13 "" 1 "" {GLPLOT2D 349 262 262 {PLOTDATA 2 "6&-%'CU
RVESG6$7S7$\"\"!$\"\"\"F(7$$\"1LLL3x&)*3\"!#:$\"1vM2M@X-6F.7$$\"1nm\"H
2P\"Q?F.$\"1c#H5wk*)>\"F.7$$\"1LL$eRwX5$F.$\"1'e9\"3a8;8F.7$$\"1ML$3x%
3yTF.$\"1bza)[_PW\"F.7$$\"1nm\"z%4\\Y_F.$\"1yGo@5\"3e\"F.7$$\"1LLeR-/P
iF.$\"1-!z-)3:<<F.7$$\"1++DcmpisF.$\"1V#)za^(z'=F.7$$\"1MLe*)>VB$)F.$
\"17E$p&4[M?F.7$$\"1,+DJbw!Q*F.$\"1@Ns**e?6AF.7$$\"1nm;/j$o/\"!#9$\"1k
)o^q\"=/CF.7$$\"1ML3_>jU6Ffn$\"1q;(QmTMe#F.7$$\"1++]i^Z]7Ffn$\"1_QO0,R
&z#F.7$$\"1++](=h(e8Ffn$\"1/G>0^e=IF.7$$\"1++]P[6j9Ffn$\"1')[(*>_$HC$F
.7$$\"1L$e*[z(yb\"Ffn$\"1Fir)\\URX$F.7$$\"1nm;a/cq;Ffn$\"1udJQE&Hr$F.7
$$\"1nmm;t,m<Ffn$\"1EbXd3QQRF.7$$\"1+]iSj0x=Ffn$\"1uxAyuM1UF.7$$\"1nmm
\"pW`(>Ffn$\"1$*o<D[cZWF.7$$\"1+]i!f#=$3#Ffn$\"1Wb/GO?:ZF.7$$\"1+](=xp
e=#Ffn$\"1G;M\"H8;(\\F.7$$\"1nm\"H28IH#Ffn$\"1S\\Q-$)GR_F.7$$\"1n;zpSS
\"R#Ffn$\"1O(=I6HR[&F.7$$\"1ML3_?`(\\#Ffn$\"1F@[)zw^u&F.7$$\"1M$e*)>px
g#Ffn$\"1#RUqh%=7gF.7$$\"1+]Pf4t.FFfn$\"1gOUC8()RiF.7$$\"1LLe*Gst!GFfn
$\"1kx/l\\uzkF.7$$\"1+++DRW9HFfn$\"1+3J[S%*>nF.7$$\"1++DJE>>IFfn$\"1]#
zbVRl%pF.7$$\"1+]i!RU07$Ffn$\"1EBF/l<drF.7$$\"1++v=S2LKFfn$\"1%eZVf$[!
Q(F.7$$\"1nmm\"p)=MLFfn$\"1=$zy5=7d(F.7$$\"1++](=]@W$Ffn$\"1_#*GTA?kxF
.7$$\"1L$e*[$z*RNFfn$\"1o+:wfUHzF.7$$\"1,+]iC$pk$Ffn$\"1ilcJZ`*4)F.7$$
\"1m;H2qcZPFfn$\"1qAdQ=j\\#)F.7$$\"1+]7.\"fF&QFfn$\"1E_^^lP'R)F.7$$\"1
nm;/OgbRFfn$\"1!\\D]Gl+`)F.7$$\"1+]ilAFjSFfn$\"1_yb$*H+g')F.7$$\"1MLL$
)*pp;%Ffn$\"1&H\\kkPex)F.7$$\"1LL3xe,tUFfn$\"1]Fs!fy_)))F.7$$\"1n;HdO=
yVFfn$\"1Nxp6bE&)*)F.7$$\"1,++D>#[Z%Ffn$\"1X`3ye/q!*F.7$$\"1nmT&G!e&e%
Ffn$\"1,%=TZ]$f\"*F.7$$\"1MLL$)Qk%o%Ffn$\"1&H9)p9bK#*F.7$$\"1,]iSjE!z%
Ffn$\"1iXvXT7/$*F.7$$\"1,]P40O\"*[Ffn$\"1MYZ1tzm$*F.7$$\"#]F($\"1],u&=
c#G%*F.-%'COLOURG6&%$RGBG$\"#5!\"\"F(F(-F$6$7UF'7$F,$\"1(RBE[Y^6\"F.7$
F2$\"1!)*HVspgA\"F.7$F7$\"1x)GU@\\SO\"F.7$F<$\"1+09%zH'=:F.7$FA$\"1A%H
;wl)*o\"F.7$FF$\"10QmBj#e'=F.7$FK$\"1`#**HGat1#F.7$FP$\"1)R%4V()p)H#F.
7$FU$\"1K.bi@1bDF.7$FZ$\"1#QK^mC'[GF.7$Fjn$\"1Os.4(3]8$F.7$F_o$\"1bNjJ
=+#\\$F.7$Fdo$\"1)Qbsjp8*QF.7$Fio$\"1`-$H!GR>VF.7$F^p$\"1=zq!\\L([ZF.7
$Fcp$\"1ND@ee9:`F.7$Fhp$\"1=$\\36=v%eF.7$F]q$\"1w@\"=%>CMlF.7$Fbq$\"1h
osVT54sF.7$Fgq$\"1*pDKW%)*H!)F.7$F\\r$\"1j/J`ZQ)*))F.7$Far$\"15[&)ekt/
**F.7$Ffr$\"1\"=u7!G)G4\"Ffn7$F[s$\"1>x*p_Y_@\"Ffn7$F`s$\"1(R`()yuoN\"
Ffn7$Fes$\"1jH<4^`$\\\"Ffn7$Fjs$\"1rk!e%Hjc;Ffn7$F_t$\"1%oAJjbQ%=Ffn7$
Fdt$\"1#)3CLaZZ?Ffn7$Fit$\"1KG*ehmeE#Ffn7$F^u$\"1Z!=um[d`#Ffn7$Fcu$\"1
@+fB7c0GFfn7$Fhu$\"17b57)3a7$Ffn7$F]v$\"1ZA/U2iYMFfn7$Fbv$\"1CnBSCoNQF
fn7$Fgv$\"1y(QmUv<C%Ffn7$F\\w$\"1%))ou4!H7ZFfn7$Faw$\"16HJ**3sA_Ffn7$F
fw$\"1=\"[\\\"HV;eFfn7$F[x$\"1Y?a)*f'>X'Ffn7$F`x$\"1x;8nhwtrFfn7$Fex$
\"1_BCz^JpzFfn7$Fjx$\"1h=#yx'*yx)Ffn7$F_y$\"1+]fYt+1)*Ffn7$Fdy$\"1J8#3
3<F3\"!#87$Fiy$\"19CsSTL.7Fhcl7$$\"1+++DM\"3%[Ffn$\"1Hw8pEsl7Fhcl7$F^z
$\"1riQ<eMJ8Fhcl7$$\"1+voa-oX\\Ffn$\"1\"fZJRkcS\"Fhcl7$Fcz$\"1md-\"fJT
[\"Fhcl-Fhz6&FjzF(F[[lF(-%+AXESLABELSG6$Q\"t6\"Q\"yFbel-%%VIEWG6$;F(Fc
z;F($\"#6F(" 1 2 0 1 0 2 9 1 4 2 1.000000 45.000000 45.000000 0 }}}}
{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 173 "Si vede che per il primo pezzetti
no f e N sono quasi uguali, poi divergono. Il fatto che siano quasi ug
uali deriva dal fatto che la condizione iniziale � la stessa e che a=r
" }}}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 55 "Facciamo il plot di soluzio
ni con diversi dati iniziali" }}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 184 "P
er fare il plot di diverse soluzioni, potremmo definire una funzione d
iversa per ognuna di esse. Si pu� invece tenersi la sola funzione N(t)
, costruire diversi plot e poi sovrapporli." }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "
" {TEXT -1 66 "Per prima cosa salviamo il plot di N(t) che avevamo gi�
 costruito:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 35 "pl1 := plot(
N(t),t=0..50, y=0..11):" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 78 "(Avend
o finito il comando con \":\" evitiamo di vederci un lungo output inut
ile)" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 56 "Poi cambiamo il dato iniz
iale e costruiamo un altro plot" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 
1 0 9 "c := 0.1;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%\"cG$\"\"\"!\"\"
" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 34 "pl2:= plot(N(t),t=0..50
, y=0..11):" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 91 "(per sovrapporli �
 essenziale controllare che i range di x e y coincidano nei vari grafi
ci)" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 41 "c:= 5; pl3:= plot(N(
t),t=0..50, y=0..11):" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%\"cG\"\"&" 
}}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 52 "Per sovrapporre i grafici serve
 il package \"plots\" :" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "
with(plots):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 "display([pl
1,pl2,pl3]);" }}{PARA 13 "" 1 "" {GLPLOT2D 297 297 297 {PLOTDATA 2 "6'
-%'CURVESG6$7S7$\"\"!$\"\"\"F(7$$\"1LLL3x&)*3\"!#:$\"1vM2M@X-6F.7$$\"1
nm\"H2P\"Q?F.$\"1c#H5wk*)>\"F.7$$\"1LL$eRwX5$F.$\"1'e9\"3a8;8F.7$$\"1M
L$3x%3yTF.$\"1bza)[_PW\"F.7$$\"1nm\"z%4\\Y_F.$\"1yGo@5\"3e\"F.7$$\"1LL
eR-/PiF.$\"1-!z-)3:<<F.7$$\"1++DcmpisF.$\"1V#)za^(z'=F.7$$\"1MLe*)>VB$
)F.$\"17E$p&4[M?F.7$$\"1,+DJbw!Q*F.$\"1@Ns**e?6AF.7$$\"1nm;/j$o/\"!#9$
\"1k)o^q\"=/CF.7$$\"1ML3_>jU6Ffn$\"1q;(QmTMe#F.7$$\"1++]i^Z]7Ffn$\"1_Q
O0,R&z#F.7$$\"1++](=h(e8Ffn$\"1/G>0^e=IF.7$$\"1++]P[6j9Ffn$\"1')[(*>_$
HC$F.7$$\"1L$e*[z(yb\"Ffn$\"1Fir)\\URX$F.7$$\"1nm;a/cq;Ffn$\"1udJQE&Hr
$F.7$$\"1nmm;t,m<Ffn$\"1EbXd3QQRF.7$$\"1+]iSj0x=Ffn$\"1uxAyuM1UF.7$$\"
1nmm\"pW`(>Ffn$\"1$*o<D[cZWF.7$$\"1+]i!f#=$3#Ffn$\"1Wb/GO?:ZF.7$$\"1+]
(=xpe=#Ffn$\"1G;M\"H8;(\\F.7$$\"1nm\"H28IH#Ffn$\"1S\\Q-$)GR_F.7$$\"1n;
zpSS\"R#Ffn$\"1O(=I6HR[&F.7$$\"1ML3_?`(\\#Ffn$\"1F@[)zw^u&F.7$$\"1M$e*
)>pxg#Ffn$\"1#RUqh%=7gF.7$$\"1+]Pf4t.FFfn$\"1gOUC8()RiF.7$$\"1LLe*Gst!
GFfn$\"1kx/l\\uzkF.7$$\"1+++DRW9HFfn$\"1+3J[S%*>nF.7$$\"1++DJE>>IFfn$
\"1]#zbVRl%pF.7$$\"1+]i!RU07$Ffn$\"1EBF/l<drF.7$$\"1++v=S2LKFfn$\"1%eZ
Vf$[!Q(F.7$$\"1nmm\"p)=MLFfn$\"1=$zy5=7d(F.7$$\"1++](=]@W$Ffn$\"1_#*GT
A?kxF.7$$\"1L$e*[$z*RNFfn$\"1o+:wfUHzF.7$$\"1,+]iC$pk$Ffn$\"1ilcJZ`*4)
F.7$$\"1m;H2qcZPFfn$\"1qAdQ=j\\#)F.7$$\"1+]7.\"fF&QFfn$\"1E_^^lP'R)F.7
$$\"1nm;/OgbRFfn$\"1!\\D]Gl+`)F.7$$\"1+]ilAFjSFfn$\"1_yb$*H+g')F.7$$\"
1MLL$)*pp;%Ffn$\"1&H\\kkPex)F.7$$\"1LL3xe,tUFfn$\"1]Fs!fy_)))F.7$$\"1n
;HdO=yVFfn$\"1Nxp6bE&)*)F.7$$\"1,++D>#[Z%Ffn$\"1X`3ye/q!*F.7$$\"1nmT&G
!e&e%Ffn$\"1,%=TZ]$f\"*F.7$$\"1MLL$)Qk%o%Ffn$\"1&H9)p9bK#*F.7$$\"1,]iS
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],u&=c#G%*F.-%'COLOURG6&%$RGBG$\"#5!\"\"F(F(-F$6$7S7$F($\"1+++++++5!#;
7$F,$\"1&o7v!R'Q6\"Fd[l7$F2$\"1K&))Q?/LA\"Fd[l7$F7$\"1=E?;95f8Fd[l7$F<
$\"1G$QWO%z5:Fd[l7$FA$\"1x)=&GyGy;Fd[l7$FF$\"1Uf=!=5)\\=Fd[l7$FK$\"1dF
aB8_X?Fd[l7$FP$\"1@rj.$G#pAFd[l7$FU$\"1$38jwPf^#Fd[l7$FZ$\"1!z7,6?pz#F
d[l7$Fjn$\"1;-KZ^ZpIFd[l7$F_o$\"1cz79p42MFd[l7$Fdo$\"1NrpIv,#y$Fd[l7$F
io$\"1?\\,_:i!=%Fd[l7$F^p$\"1ZC(eR[rd%Fd[l7$Fcp$\"1\"\\DX@x_4&Fd[l7$Fh
p$\"1G%pB2krd&Fd[l7$F]q$\"1FXMmYe\">'Fd[l7$Fbq$\"1q!Rgx^wy'Fd[l7$Fgq$
\"1e2gGfb-vFd[l7$F\\r$\"1!pC%*f/qC)Fd[l7$Far$\"1pXV()G'[4*Fd[l7$Ffr$\"
1kSvs1tT**Fd[l7$F[s$\"1QW@c\\J$4\"F.7$F`s$\"1`^KGVP07F.7$Fes$\"1@\"[4!
>'3J\"F.7$Fjs$\"1D(4@,\"\\L9F.7$F_t$\"1;A+g)f+d\"F.7$Fdt$\"1u\"4vgIPr
\"F.7$Fit$\"1\"3qZfyC'=F.7$F^u$\"1b+jA+3R?F.7$Fcu$\"1KFB,k83AF.7$Fhu$
\"1@%39!3Z*R#F.7$F]v$\"1mk7f?R#e#F.7$Fbv$\"1Z[F!*\\\\#z#F.7$Fgv$\"1R7:
kXY**HF.7$F\\w$\"1-kT#H\")[A$F.7$Faw$\"1')fQ3!fNX$F.7$Ffw$\"1xul92'3q$
F.7$F[x$\"17RAF@oXRF.7$F`x$\"1RPZ#zI;?%F.7$Fex$\"1?8c$\\w(fWF.7$Fjx$\"
1pC0^th*p%F.7$F_y$\"1XV1p7:w\\F.7$Fdy$\"1%4hXsgOA&F.7$Fiy$\"1P:)*\\QK'
[&F.7$F^z$\"1-IS&eK_t&F.7$Fcz$\"1Z.8=gf)*fF.Fgz-F$6$7S7$F($\"\"&F(7$F,
$\"1*eu\\0&>s_F.7$F2$\"1p6gDxx2bF.7$F7$\"1v$4$='p*pdF.7$F<$\"1jiK*=(eH
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%R6%)e,&opF.7$FU$\"1nzDk'4r=(F.7$FZ$\"1xHJ,#p;S(F.7$Fjn$\"1x:\"zSD;e(F
.7$F_o$\"1M2SK5#Qx(F.7$Fdo$\"1j1cWGebzF.7$Fio$\"1(>;$)='3?\")F.7$F^p$
\"1*fJcT'[g#)F.7$Fcp$\"1,$*R*H0lT)F.7$Fhp$\"1I'*)*fohR&)F.7$F]q$\"1m&f
kXEFn)F.7$Fbq$\"1s,j!GS=y)F.7$Fgq$\"17m2!QyD*))F.7$F\\r$\"1_<teTt*)*)F
.7$Far$\"1E%[CHnH3*F.7$Ffr$\"1UhpyYph\"*F.7$F[s$\"1UU`kioR#*F.7$F`s$\"
1I829#*f8$*F.7$Fes$\"1wC\"oSkCP*F.7$Fjs$\"1HLE5\"H2V*F.7$F_t$\"1cX&R]e
b[*F.7$Fdt$\"15NRJpLM&*F.7$Fit$\"155c->Kx&*F.7$F^u$\"1G)[]:,1i*F.7$Fcu
$\"1&G\\8TKel*F.7$Fhu$\"1#HK@yh**o*F.7$F]v$\"1VKzh9/=(*F.7$Fbv$\"1Pi^f
W\"fu*F.7$Fgv$\"1'f3SZz'p(*F.7$F\\w$\"17YsG()>#z*F.7$Faw$\"1oLuih77)*F
.7$Ffw$\"1xM$zBz4$)*F.7$F[x$\"14fKbSPZ)*F.7$F`x$\"1t>zQ'>D')*F.7$Fex$
\"184JYP2w)*F.7$Fjx$\"1E^%)32O())*F.7$F_y$\"1<--b60**)*F.7$Fdy$\"1Y:M.
][3**F.7$Fiy$\"1fbUsCe<**F.7$F^z$\"1.M(*4![a#**F.7$Fcz$\"1_rv!\\rI$**F
.Fgz-%+AXESLABELSG6$Q\"t6\"Q\"yF_^m-%%VIEWG6$;F(Fcz;F($\"#6F(" 1 2 0 
1 0 2 9 1 4 2 1.000000 45.000000 45.000000 0 }}}}}{SECT 1 {PARA 4 "" 
0 "" {TEXT -1 79 "Rifacciamo il plot scegliendo meglio la lunghezza de
gli assi e cambiando colori" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 
57 "c := 1; pl1 := plot(N(t),t=0..100, y=0..11, color = red):" }}
{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%\"cG\"\"\"" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 
0 "" {MPLTEXT 1 0 60 "c := 0.1; pl2:= plot(N(t),t=0..100, y=0..11, col
or = black):" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%\"cG$\"\"\"!\"\"" }}
}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 56 "c:= 5; pl3:= plot(N(t),t=0.
.100, y=0..11, color = blue):" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%\"c
G\"\"&" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 58 "c:= 12; pl4:= plo
t(N(t),t=0..100, y=0..11, color = green):" }}{PARA 11 "" 1 "" 
{XPPMATH 20 "6#>%\"cG\"#7" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 
27 "display([pl1,pl2,pl3,pl4]);" }}{PARA 13 "" 1 "" {GLPLOT2D 297 297 
297 {PLOTDATA 2 "6(-%'CURVESG6$7S7$\"\"!$\"\"\"F(7$$\"1nmm;arz@!#:$\"1
hsYs[)R@\"F.7$$\"1ML$e9ui2%F.$\"1[D/'>@7V\"F.7$$\"1nmm\"z_\"4iF.$\"1@g
[1\")=8<F.7$$\"1ommT&phN)F.$\"17\"eiX\"zR?F.7$$\"1LLe*=)H\\5!#9$\"1_;(
eS!o3CF.7$$\"1nm\"z/3uC\"FC$\"1aw*)3s@*y#F.7$$\"1++DJ$RDX\"FC$\"1unB-Y
!)>KF.7$$\"1nm\"zR'ok;FC$\"1K)=z#4D*p$F.7$$\"1++D1J:w=FC$\"13&RNWYT?%F
.7$$\"1MLL3En$4#FC$\"1K6rg6NTZF.7$$\"1nm;/RE&G#FC$\"1J&>MEc*>_F.7$$\"1
,++D.&4]#FC$\"1_6,K0``dF.7$$\"1+++vB_<FFC$\"1z))H()R<siF.7$$\"1+++v'Hi
#HFC$\"1Yba,\"peu'F.7$$\"1nm\"z*ev:JFC$\"1\"=tldFu9(F.7$$\"1MLL347TLFC
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$$\"1nm;zXu9cFC$\"1Os3YhZ#o*F.7$$\"1+++]y))GeFC$\"1\">;0$e5U(*F.7$$\"1
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C$\"1X#eVH*>R**F.7$$\"1LLe9S8&\\(FC$\"1%[?\"e&G-&**F.7$$\"1,+D1#=bq(FC
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**F.7$$\"1NLe9tOc()FC$\"1%fQJ0\\e)**F.7$$\"1,++]Qk\\*)FC$\"14U#Q7L$))*
*F.7$$\"1ML$3dg6<*FC$\"1s,)\\8\\1***F.7$$\"1nmmmxGp$*FC$\"1y.f=&GB***F
.7$$\"1,+D\"oK0e*FC$\"1ly:Z%)y$***F.7$$\"1,+v=5s#y*FC$\"1:wS]\\#\\***F
.7$$\"$+\"F($\"1>R<vc\"f***F.-%'COLOURG6&%$RGBG$\"*++++\"!\")F(F(-F$6$
7S7$F($\"1+++++++5!#;7$F,$\"1O!R_MI0C\"Fd[l7$F2$\"1R(RV!)>d\\\"Fd[l7$F
7$\"1:g')\\PvW=Fd[l7$F<$\"1_B5z**\\wAFd[l7$FA$\"1g=8.5i.GFd[l7$FG$\"13
5u4u,(R$Fd[l7$FL$\"1z,n(Qi%QTFd[l7$FQ$\"1n4'=4Zp1&Fd[l7$FV$\"1P(f5bSj=
'Fd[l7$Fen$\"1er'\\_ycd(Fd[l7$Fjn$\"1y')=jy*4.*Fd[l7$F_o$\"1'==R0[m4\"
F.7$Fdo$\"1Wg/j2lE8F.7$Fio$\"1c83M?s&e\"F.7$F^p$\"1p?v(4N_&=F.7$Fcp$\"
1*)R^0n3?AF.7$Fhp$\"1$[8N2.sc#F.7$F]q$\"1PW**\\qA8IF.7$Fbq$\"1ZJ_TrXUM
F.7$Fgq$\"1!)R9VuBWRF.7$F\\r$\"10arr)fQW%F.7$Far$\"13R\"f*eEx\\F.7$Ffr
$\"1YBEE\"[yY&F.7$F[s$\"1g%4ZmUn)fF.7$F`s$\"19EYZt8.lF.7$Fes$\"1h%oCg$
3EpF.7$Fjs$\"1Vz&y%\\**[tF.7$F_t$\"1u?q=QxWxF.7$Fdt$\"1h2()*4)f*3)F.7$
Fit$\"1!)*3K`\\MQ)F.7$F^u$\"1`p!\\-sdm)F.7$Fcu$\"1;.2Alw#)))F.7$Fhu$\"
13&Q!>+xz!*F.7$F]v$\"1M?&f3@2B*F.7$Fbv$\"1!3r0`D&p$*F.7$Fgv$\"1RR;r8Zy
%*F.7$F\\w$\"1dk!3N'>t&*F.7$Faw$\"1*)=Srfw\\'*F.7$Ffw$\"1A1ZDzo:(*F.7$
F[x$\"1aNj_Iqn(*F.7$F`x$\"1qfk>$f7\")*F.7$Fex$\"1:j%3f6l%)*F.7$Fjx$\"1
^A)4PWJ()*F.7$F_y$\"1Ekk*R$4)*)*F.7$Fdy$\"1r\"HR9ci\"**F.7$Fiy$\"1Wj*f
r%4K**F.7$F^z$\"1jhITjXW**F.7$Fcz$\"1X^Hz^Db**F.-Fhz6&FjzF(F(F(-F$6$7W
7$F($\"\"&F(7$$\"1LLL3x&)*3\"F.$\"1*eu\\0&>s_F.7$F,$\"1qfU>:yUbF.7$$\"
1++D\"y%*z7$F.$\"1,O&\\M%ovdF.7$F2$\"1P_i6%)=0gF.7$$\"1++voMrU^F.$\"12
0jGC2eiF.7$F7$\"1<\"*)*eoE/lF.7$$\"1nmmm6m#G(F.$\"1'GqboYUu'F.7$F<$\"1
XAmOHTvpF.7$FA$\"1+#za4,kS(F.7$FG$\"1Vn$Rf3&oxF.7$FL$\"1O;C>$*)Q5)F.7$
FQ$\"1D[!e$4m3%)F.7$FV$\"1-r:\"R'or')F.7$Fen$\"1lM<qm'G!*)F.7$Fjn$\"1h
NZiA\\w!*F.7$F_o$\"1rwXWT3U#*F.7$Fdo$\"1pUhbr_!Q*F.7$Fio$\"1G[&HOz7\\*
F.7$F^p$\"1(eR+-!Qv&*F.7$Fcp$\"1EA-A(G\"e'*F.7$Fhp$\"1Z)[LOcer*F.7$F]q
$\"1\"QEXwZ6x*F.7$Fbq$\"1JD@4\"=7\")*F.7$Fgq$\"1O&\\!HJGZ)*F.7$F\\r$\"
1#yP[c#Gv)*F.7$Far$\"1D?-+d4**)*F.7$Ffr$\"1\"e#y51(p\"**F.7$F[s$\"1:\"
H$\\DuK**F.7$F`s$\"1c2ON$yf%**F.7$Fes$\"1t8=O+Pb**F.7$Fjs$\"1p$\\P)[pj
**F.7$F_t$\"1M\"ewzs1(**F.7$Fdt$\"1'>e,p-i(**F.7$Fit$\"1+A>[/c!)**F.7$
F^u$\"1Tw0,@Z%)**F.7$Fcu$\"1*z-Z`6t)**F.7$Fhu$\"1f@A[Jx*)**F.7$F]v$\"1
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5FC7$FA$\"134_z8)>1\"FC7$FG$\"1em5j>G]5FC7$FL$\"1t?R&Gy0/\"FC7$FQ$\"1'
G<^%*oD.\"FC7$FV$\"1fa*oa)>E5FC7$Fen$\"1E*4qkp4-\"FC7$Fjn$\"1(e6yR]s,
\"FC7$F_o$\"1&44lBdQ,\"FC7$Fdo$\"1Xvw\\)G6,\"FC7$Fio$\"1h&>Pk8!45FC7$F
^p$\"1BU6geW25FC7$Fcp$\"17^AaX$f+\"FC7$Fhp$\"1m*H(*4)*[+\"FC7$F]q$\"1d
XcM)=R+\"FC7$Fbq$\"1zGuAs@.5FC7$Fgq$\"1b#>IX\"f-5FC7$F\\r$\"1U9B:$4@+
\"FC7$Far$\"1:$y=x,<+\"FC7$Ffr$\"1S%Q!ftR,5FC7$F[s$\"1Mc*G#)H6+\"FC7$F
`s$\"1L)=;214+\"FC7$Fes$\"1F?,Exu+5FC7$Fjs$\"1N)p!fwg+5FC7$F_t$\"1JY$[
Y!\\+5FC7$Fdt$\"1R'egs(R+5FC7$Fit$\"1%e)**GZK+5FC7$F^u$\"1:E+o#f-+\"FC
7$Fcu$\"1\"yNzy6-+\"FC7$Fhu$\"1@\"R6lq,+\"FC7$F]v$\"1(f15KS,+\"FC7$Fbv
$\"1y.]&H8,+\"FC7$Fgv$\"1GF&*QE4+5FC7$F\\w$\"1+B^h]2+5FC7$Faw$\"1!z*o0
61+5FC7$Ffw$\"15f1n#\\++\"FC7$F[x$\"1Sr))Q+/+5FC7$F`x$\"1Vb#oQK++\"FC7
$Fex$\"1-;GVi-+5FC7$Fjx$\"1c-.J;-+5FC7$F_y$\"1NY#HL<++\"FC7$Fdy$\"15gb
<U,+5FC7$Fiy$\"1Jw:5:,+5FC7$F^z$\"1\"[+JS4++\"FC7$Fcz$\"1<Armv++5FC-Fh
z6&FjzF(F[[lF(-%+AXESLABELSG6$Q\"t6\"Q\"yFjjm-%%VIEWG6$;F(Fcz;F($\"#6F
(" 1 2 0 1 0 2 9 1 4 2 1.000000 45.000000 45.000000 0 }}}}}{SECT 1 
{PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 43 "Il comportamento asintotico delle soluzio
ni" }}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 113 "Si vede che tutte le soluzi
oni N(t) tendono, indipendentemente dal valore iniziali, a un certo li
vello costante. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 175 "Si pu� vedere facilm
ente che un tale valore deve essere un valore di equilibrio per l'equa
zione differenziale. Questo vuol dire che se l'equazione � x'(t) = f(x
(t)) un valore " }{TEXT 256 1 "x" }{TEXT -1 45 " a cui una soluzione t
ende deve soddisfare f(" }{TEXT 257 1 "x" }{TEXT -1 7 " ) = 0." }}
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 88 "Nel caso dell'equazione N'(t) = N(t) (a -
 b N(t)) i valori limite possibili sono quindi " }{TEXT 258 5 "N=0  " 
}{TEXT -1 7 "oppure " }{TEXT 259 5 "N=a/b" }{TEXT -1 6 ". Con " }
{TEXT 260 7 "a=0.1  " }{TEXT -1 3 "e  " }{TEXT 261 8 "b = 0.01" }
{TEXT -1 43 "  il valore limite � infatti uguale a 10 = " }{TEXT 262 
3 "a/b" }{TEXT -1 2 " ." }}}}}{SECT 0 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 46 "L'e
quazione x'(t) = (a exp(-b x(t) ) - c) x(t)" }}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 185 "Possiamo studiare un'altra equazione simile all'equazion
e \"logistica\" del punto precedente, ma in cui si assume che il tasso
 di crescita diminuisca in modo non lineare al crescere di N." }}}
{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 21 "Scriviamo l'equazione" }}{PARA 0 
"" 0 "" {TEXT -1 39 "Prima di tutto \"deassegnamo\" molti nomi" }}
{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 27 "unassign('x','a','b','c' );
" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 52 "eq2 := diff(x(t),t) - (
a*exp(-b*x(t))-c) * x(t) = 0;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%$eq
2G/,&-%%diffG6$-%\"xG6#%\"tGF-\"\"\"*&,&*&%\"aGF.-%$expG6#,$*&%\"bGF.F
*F.!\"\"F.F.%\"cGF9F.F*\"\"\"F9\"\"!" }}}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" 
{TEXT -1 22 "Risolviamo l'equazione" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 21 "dsolve(\{eq2\},\{x(t)\});" }}{PARA 11 "" 1 "" 
{XPPMATH 20 "6#/,(%\"tG\"\"\"*&-%$SumG6$*&)*&%\"aG\"\"\"%\"cG!\"\"%$_k
1GF&,*-%#lnG6#-%\"xG6#F%F&-F56#*&F2F&%\"bGF&F&-F56#*(F2F/F=F/F7F&!\"\"
-%#EiG6$F&F@FAF&/F2;\"\"!%)infinityGF/F0F1F&%$_C1GF&FG" }}}{EXCHG 
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 74 "Come si vede Maple non � in grado di riso
lvere esplicitamente l'equazione." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 72 "E' s
tata scritta una relazione implicita della forma G(x(t)) = t + cost." 
}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 107 "dove G � una funzione molto complicata
 che comprende una serie (la somma di un numero infinito di termini).
" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 51 "Possiamo dire che tale soluzione � (q
uasi) inutile." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 63 "Conviene passare a un'a
pprossimazione numerica delle soluzioni." }}}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" 
{TEXT -1 56 "Approssimiamo numericamente una soluzione dell'equazione
" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 106 "Per la risoluzione numerica, dobbiam
o dare dei valori numerici alle costanti e assegnare un dato iniziale:
" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 17 "ini2 := x(0) = 1;" }}
{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%%ini2G/-%\"xG6#\"\"!\"\"\"" }}}
{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 29 "b:= 0.1; c :=  0.2; a := 0.4
;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%\"bG$\"\"\"!\"\"" }}{PARA 11 "
" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%\"cG$\"\"#!\"\"" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 
20 "6#>%\"aG$\"\"%!\"\"" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 48 "
sol1:= dsolve(\{eq2,ini2\},\{x(t)\},type = numeric);" }}{PARA 11 "" 1 
"" {XPPMATH 20 "6#>%%sol1GR6#%(rkf45_xG6'%\"iG%(rkf45_sG%)outpointG%#r
1G%#r2G6#%aoCopyright~(c)~1993~by~the~University~of~Waterloo.~All~righ
ts~reserved.G6\"C&>8&-%&evalfG6#9$@$52-%$absG6#,$F3!\"\"-F<6#,&&%,loc_
controlG6#\"\"#\"\"\"F3F?4-%'memberG6$&FD6#\"\"'<*F?FG!\"#FF$FG\"\"!$F
FFR$F?FR$FPFRC%>FD-%%copyG6#=F06#;FG\"#EE\\[l;\"#7FR\"#8FR\"#9FR\"#:FR
\"#;FRFGFG\"#<FRFFFR\"#=FR\"\"$FR\"#>FR\"\"%$FG!\")\"#?FQ\"\"&Fdo\"#@F
RFNFG\"#AFR\"\"($FG!\"*\"#BFR\"\")\"&++$\"#CFR\"\"*\"%+5\"#DFR\"#5FRFh
nFR\"#6FR>%'loc_y0G-FY6#=F06#;FGFGE\\[l\"FGFQ>%'loc_y1G-FY6#=F0F[qE\\[
l!@$0F;FRC$>&FD6#FaoF3@%1%'DigitsG-%'evalhfG6#F\\rC$>8%-%*traperrorG6#
-F^r6#-%=dsolve/numeric_solnall_rkf45G6,%&loc_FG-%$varG6#FD-F]s6#Fgp-F
]s6#F_q-F]s6#%'loc_F1G-F]s6#%'loc_F2G-F]s6#%'loc_F3G-F]s6#%'loc_F4G-F]
s6#%'loc_F5G-F]s6#%)loc_workG@$/Fbr%*lasterrorGC%>8'-%+searchtextG6$.F
^r-%(convertG6$-%#opG6$FG7#Fbr%%nameG>8(-F\\u6$.%)hardwareGF_u@%50FjtF
R0FhuFR-Fir6,F[sFDFgpF_qFesFhsF[tF^tFatFdt-%&ERRORG6#FbrFav7$/%\"tGF7-
%$seqG6$/&%$ordG6#,&8$FGFGFG&Fgp6#Faw/FawF\\qF06%FDFgpF_qF0" }}}
{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 85 "questo era il comando per la risol
uzione numerica (abbiamo aggiunto \"type = numeric\")" }}}{EXCHG 
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 16 "Che cos'e' sol1?" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 
0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "sol1(0);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#7$/%
\"tG\"\"!/-%\"xG6#F%$\"\"\"F&" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 
0 8 "sol1(1);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#7$/%\"tG\"\"\"/-%\"xG
6#F%$\"1`WKD$=A<\"!#:" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 109 "Per ved
ere la soluzione complessivamente si usa il comando \"odeplot\" (anch'
esso compreso nel package \"plots\")" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 50 "odeplot(sol1,[t,x(t)],0..50, view = [0..40,0..8]);" }
}{PARA 13 "" 1 "" {GLPLOT2D 297 297 297 {PLOTDATA 2 "6$-%'CURVESG6$7T7
$\"\"!$\"\"\"F(7$$\"+j\"3/-\"!\"*$\"1%p7[w[f<\"!#:7$$\"+Ej\"3/#F.$\"1_
6wS1_t8F17$$\"+*[C71$F.$\"1L\"HU&pW#f\"F17$$\"+_Ej\"3%F.$\"1/'4pu0;$=F
17$$\"+:3/-^F.$\"1Rs7I[(*)3#F17$$\"+y*[C7'F.$\"1lF?,3nhBF17$$\"+Tr&G9(
F.$\"18e*e')ygk#F17$$\"+/`Ej\")F.$\"1r-%>Sh!QHF17$$\"+nMn$=*F.$\"1r5O(
*z@LKF17$$F-!\")$\"1igh$*3;FNF17$$\"+z*[C7\"Ffn$\"1t,9_&pd\"QF17$$\"+&
z*[C7Ffn$\"1`Je%p&R&4%F17$$\"+61`E8Ffn$\"1'z%H>C+jVF17$$\"+F9dG9Ffn$\"
1z-?mRB;YF17$$\"+VAhI:Ffn$\"1zZ[oJU`[F17$$\"+fIlK;Ffn$\"1gF&*o+bt]F17$
$\"+vQpM<Ffn$\"1tn(3`nhF&F17$$\"+\"pMn$=Ffn$\"1.Q`&))38Y&F17$$\"+2bxQ>
Ffn$\"1BCW1+RHcF17$$\"+Bj\"3/#Ffn$\"1E)QC$[6\"y&F17$$\"+Rr&G9#Ffn$\"1+
L&f3!R<fF17$$\"+bz*[C#Ffn$\"1^:Q$>_#RgF17$$\"+r(QpM#Ffn$\"1!*e\")pt!y9
'F17$$\"+(ez*[CFfn$\"1mM=eW=WiF17$$\"+./-^DFfn$\"1!>Y.I*\\HjF17$$\"+>7
1`EFfn$\"16$)fC!H[S'F17$$\"+N?5bFFfn$\"1g<%z_%>rkF17$$\"+^G9dGFfn$\"1*
4rT]\\&HlF17$$\"+nO=fHFfn$\"1ql[RXx!e'F17$$\"+$[C71$Ffn$\"1EI`5]nDmF17
$$\"+*HlK;$Ffn$\"10K-S<)\\m'F17$$\"+:hIlKFfn$\"1<o&=d`$*p'F17$$\"+JpMn
LFfn$\"151]57QHnF17$$\"+ZxQpMFfn$\"1wp`C=fbnF17$$\"+j&G9d$Ffn$\"1jx&=/
a%ynF17$$\"+z$pMn$Ffn$\"1Y6EmIQ)z'F17$$\"+&>5bx$Ffn$\"1'olasXd\"oF17$$
\"+65bxQFfn$\"1$G6BKl3$oF17$$\"+F=fzRFfn$\"1G3b2i-WoF17$$\"+VEj\"3%Ffn
$\"1>v<F!ya&oF17$$\"+fMn$=%Ffn$\"1V$zAiRa'oF17$$\"+vUr&G%Ffn$\"1lW7xD5
uoF17$$\"+\"4bxQ%Ffn$\"1kNJBWj\")oF17$$\"+2fz*[%Ffn$\"1wby::=))oF17$$
\"+Bn$=f%Ffn$\"1l%G8grQ*oF17$$\"+Rv(Qp%Ffn$\"1#*\\(G5;))*oF17$$\"+b$=f
z%Ffn$\"1fK!R97J!pF17$$\"+r\"fz*[Ffn$\"1x@?PV%o!pF17$$\"+()******\\Ffn
$\"19yYhj35pF1-%'COLOURG6&%$RGBG$\"#5!\"\"F(F(-%%VIEWG6$;F($\"#SF(;F($
\"\")F(" 1 2 0 1 0 2 9 1 4 2 1.000000 45.000000 45.000000 0 }}}}}
{SECT 0 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 28 "Il comportamento asintotico." }}
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 201 "Anche se non siamo ingrado di scrivere e
splicitamente le soluzioni di questa equazione, � facile rendersi cont
o che il limite deve essere un equilibrio e deve quindi essere uguale \+
a log(a/c)/b. Infatti" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 11 "log
(a/c)/b;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#$\"+1=ZJp!\"*" }}}{EXCHG 
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 45 "che corrisponde a quanro si vede dal graf
ico." }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 31 "Tale limite esiste soltan
to se " }{TEXT 265 6 "b > 0 " }{TEXT -1 2 "e " }{TEXT 266 5 "a>c>0" }
{TEXT -1 37 ". Cosa fanno le soluzioni altrimenti?" }}}}}}{MARK "6" 0 
}{VIEWOPTS 1 1 0 1 1 1803 }
�