Matematica Discreta (I modulo)

Primo appello, a.a. 1998/99

7 giugno 1999

Da svolgersi in tre ore, senza l'ausilio di appunti e/o libri.

Si ricorda che, anche se non esplicitamente richiesto nei testi, tutte le risposte alle domande devono essere adeguatamente motivate con dimostrazioni o confutazioni.

Esercizio 1   Si determini la soluzione dell'equazione ricorsiva lineare

$$x_{n+3}=x_{n+2}-x_{n+1}+x_n$$

con dati iniziali $x_0=0$, $x_1=1$, $x_2=2$.
Soluzione

Esercizio 2   Sia $G$ un gruppo si definisca

$$Z(G)=\{g\in G\mid hg=gh ~ \forall h\in G\}.$$

1. Si provi che $Z(G)$ è un sottogruppo di $G$.
2. Si dica, motivando la risposta, se $Z(G)$ è normale.
3. Si determini $Z(S_3)$.

Soluzione

Esercizio 3   Siano $X$ un insieme e $x\in X$ un suo elemento. Si ponga

$$L=\{A \in {\cal P}(X)\mid x\in A\}.$$

Si dica, motivando la risposta, se

1. $L$, con le operazioni di $\cup$ e $\cap$ (unione e intersezione) è un reticolo.
2. $(L,\cup,\cap)$ è un sottoreticolo di $({\cal P}(X),\cup,\cap)$.
3. $(L,\cup,\cap)$ è un'algebra di Boole.

Soluzione

Esercizio 4   Si consideri l'insieme

$$A = \Big\{ \Big( \begin{array}{cc} a & b \\ 3b & a \end{array} \Big) \Bigm\vert a,b\in\mathbb{Q}\Big\}$$

Si dica, motivando la risposta, se con le operazioni di somma e prodotto di matrici

1. $A$ è un anello.
2. $A$ è commutativo.
3. $A$ è un campo.

Si provi che esiste un morfismo surgettivo $\varphi :\mathbb{Q}[x]\to A$ tale che

$$\varphi (a)=\Big( \begin{array}{cc} a & 0 \\ 0 & a \end... ...=\Big( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 3 & 0 \end{array}\Big).$$

Si usi questo fatto per provare che $A\oldcong \mathbb{Q}[x]\big/\mathchoice {{}_{\!\displaystyle {}(x^2-3)}} {{}_... ...^2-3)}} {{}_{\!\scriptstyle {}(x^2-3)}} {{}_{\!\scriptscriptstyle {}(x^2-3)}}$
Soluzione

Esercizio 5   Si provi che l'insieme dei numeri naturali le cui cifre (nella usuale scrittura decimale) sono tutte diverse è finito e se ne determini il numero di elementi.
Soluzione