Matematica Discreta (I modulo)

Terzo appello, a.a. 1998/99

24 gennaio 2000

Da svolgersi in tre ore, senza l'ausilio di appunti e/o libri.

Si ricorda che, anche se non esplicitamente richiesto nei testi, tutte le risposte alle domande devono essere adeguatamente motivate con dimostrazioni o confutazioni.

Esercizio 1   Si provi che per ogni $n\in \mathbb{N}$ si ha che

$$\sum_{i=0}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$$

Soluzione

Esercizio 2   Si determini la soluzione dell'equazione ricorsiva lineare

$$x_{n+2}=-3x_{n+1}-2x_n$$

con dati iniziali $x_0=-2$ e $x_1=3$.
Soluzione

Esercizio 3   Sia $G$ un gruppo e $H$ un suo sottogruppo. Si consideri l'insieme

$$N_G(H)=\{ g \in G \mid g^{-1} H g = H \}.$$

dove $g^{-1}HG = \{ g^{-1}hg\mid h\in H\}$. Si provi che $N_G(H)$ è un sottogruppo di $G$ che contiene $H$. Si dica inoltre quale delle seguenti è vera:

1. $H\trianglelefteq G \iff N_G(H) = H$.
2. $H\trianglelefteq G \iff N_G(H) = G$.

Soluzione

Esercizio 4   Siano $(B,\vee ,\wedge ,',0,1)$ un'algebra di Boole, $B'\subseteq B$ una sottoalgebra e $x\in B$ un elemento. Si provi che l'insieme

$$A=\{ (a \wedge x) \vee (b \wedge x') \mid a,b\in B'\}$$

è la sottoalgebra $\left\langle {}B',x\right\rangle$ generata da $B'$ e $x$ (i.e. la più piccola sottoalgebra contenente sia $B'$ che $x$).
Soluzione

Esercizio 5   Siano $\mathbb{F}$ e $\mathbb{K}$ due campi e si consideri l'anello prodotto diretto $\mathbb{F}\times \mathbb{K}$. Ricordiamo che le operazioni in $\mathbb{F}\times \mathbb{K}$ sono definite da $(f,k)+(f',k')=(f+f',k+k')$ e $(f,k)(f',k')=(ff',kk')$.

1. Si determinino gli elementi invertibili di $\mathbb{F}\times \mathbb{K}$.
2. Si determinino tutti gli ideali di $\mathbb{F}\times \mathbb{K}$.

Soluzione