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Matematica Discreta (II modulo)

Primo appello, a.a. 2003/2004 -- compito 1


Date: 19 aprile 2004

Da svolgersi in tre ore. Al candidato si richiede di svolgere almeno un esercizio di ciascuno dei due gruppi e di rispondere ad almeno una delle domande teoriche. Tutte le risposte devono essere motivate.

Non è ammessa la consultazione di libri e/o appunti.

Esercizio 1   Dire se il seguente sistema di congruenze ammette soluzioni ed in tal caso determinarle tutte:

\begin{displaymath}
\begin{cases}
x\equiv -7 \quad{\rm mod}\ 21 \\
x\equiv 41 \quad{\rm mod}\ 81 \\
\end{cases}\end{displaymath}


Soluzione

Esercizio 2   Un musicista jazz vuole formare una band composta da 4 sassofonisti, 2 trombettisti, 3 percussionisti, 2 chitarristi.
Alle selezioni si presentano 10 sassofonisti, 9 trombettisti, 4 percussionisti e 5 chitarristi.
  1. Quante sono le possibili band che può formare?
  2. Il musicista decide di selezionare anche due cantanti da scegliere fra 4 candidate, come cambia il numero determinato al punto precedente?
  3. Supponendo che il musicista abbia scelto la band, in quanti modi può selezionare da questa un trio di solisti composto da 1 sax, 1 chitarra, 1 percussione?

Soluzione

Esercizio 3   Dire, motivando la risposta, quale dei vettori

$\displaystyle d_1 = (2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 8, 8)\qquad
d_2 = (1, 1, 1, 1, 2, 2, 6, 6)
$

è lo score di un grafo e quando ciò è possibile costruire un tale grafo. Si dica inoltre se
  1. è possibile trovare un tale grafo che sia anche un albero
  2. è possibile trovare un tale grafo che sia sconnesso
  3. è possibile trovare un tale grafo che sia 2-connesso

Soluzione

Esercizio 4   Dire, motivando la risposta, quali tra i grafi rappresentati in figura sono tra loro isomorfi e quali no.
\begin{figure}\begin{center}
\psfig{file=fig_a1_1_e4_2003.eps,width=.8\hsize} \end{center} \end{figure}

Soluzione

Domanda di teoria 1.  Si dia la definizione di elemento invertibile in $ \mathbb{Z}\big/\mathchoice
{{}_{\!\displaystyle {}n\mathbb{Z}}}
{{}_{\!\textst...
...}
{{}_{\!\scriptstyle {}n\mathbb{Z}}}
{{}_{\!\scriptscriptstyle {}n\mathbb{Z}}}$, quindi si enunci e si provi il piccolo teorema di Fermat.

Domanda di teoria 2. Si dia la definizione di albero, quindi si enunci e si provi il teorema di caratterizzazione degli alberi finiti (formula di Eulero).




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Domenico Luminati 2004-04-20