Corso di Matematica per le Scienze Sociali anno accademico 1999/00
Foglio di esercizi per casa numero 14 13 aprile 2000

Esercizio 1. Trovare il massimo e il minimo assoluto di

$\displaystyle f(x) = \log(1+\vert x-1\vert) $

sull'intervallo [-1,2].


Domanda 2. Determinare il massimo della funzione $ {1 \over x^2 + x + 2}$ nell'intervallo $ [-1,0]$:

A.
$ {1\over 2}$
B.
$ {1 \over 4}$
C.
$ {8 \over 15}$
D.
$ 1$


Esercizio 3. Trovare il massimo e il minimo assoluto di

$\displaystyle f(x) = e^{\vert x-1\vert} $

sull'intervallo [-1,2].


Esercizio 4. Trovare il massimo della funzione

$\displaystyle f(x) = {x+1\over 1+x^2}
$

sull'intervallo $ (-\infty,+\infty)$.


Esercizio 5. Sia $ f(x) = x^4 - 2x^2$.


Esercizio 6.


Domanda 7. La derivata di una funzione $ f(x)$ è negativa nell'intervallo $ (a,b)$, nulla in $ x=b$ e positiva nell'intervallo $ (b,c)$. Quale delle seguenti affermazione è corretta:

A.
la funzione è crescente in $ (a,c)$
B.
$ b$ è un punto di massimo
C.
la funzione è decrescente in $ (a,c)$
D.
$ b$ è un punto di minimo


Esercizio 8. Sia $ f(x) = 4x^3 + ax$ dove $ a$ è un numero reale.


Esercizio 9. Disegnare il grafico della funzione

$\displaystyle f(x) = e^{2+x-{x^2\over 3}}
$

studiando in particolare il segno della derivata ed eventuali punti di massimo e minimo.


Esercizio 10. Disegnare sullo stesso piano cartesiano il grafico delle funzioni

$\displaystyle y = \log x-2; \qquad y= \log(x-1)
$

Disegnare il grafico della funzione

$\displaystyle f(x) = \log x-2 - \log(x-1)
$

studiando l'insieme di definizione, i limiti, il segno della derivata e gli eventuali punti di massimo, minimo e di flesso.


Esercizio 11. Siano

$\displaystyle f(x) = \frac{\log(x)}{x} \qquad \hbox{\rm e}\qquad g(y) =
{y^2 + 1}.
$


Esercizio 12. Studiare (a seconda del valore del parametro $ k$) la funzione

$\displaystyle f(x) = x^3 - 3 k x - 1. $


Esercizio 13. Un foglio di carta per manifesti ha l'area di 2 metri quadrati. I margini non stampati in alto e in basso devono essere alti 21 centimetri; quelli laterali 14 centimetri. Come scegliere lunghezza e larghezza del foglio, per rendere massima l'area stampata?


Esercizio 14. Un uomo in una barca a remi in $ P$, a 5 km dal punto più vicino $ A$ di una costa rettilinea, desidera raggiungere un punto $ B$ a 6 km da $ A$ lungo la costa nel tempo più breve possibile. Dove deve scendere a terra se può remare alla velocità di 2 km/h e camminare alla velocità di 4 km/h?


Esercizio 15. Trovare l'equazione della retta $ r$ passante per il punto $ (3,4)$ tale che il triangolo costruito nel primo quadrante con vertici l'origine degli assi e le intersezioni della retta $ r$ con i semiassi positivi $ x $ e $ y$ abbia area minima.


Esercizio 16. Trovare il punto $ P$ sulla curva di equazione $ y = x^2 + 1$ che ha distanza minima dal punto $ A = (0,a)$ dove $ a = 2$ oppure $ a
= 3/2$.


Esercizio 17. Discutere quante soluzioni reali ha l'equazione

$\displaystyle x^3 + 2 x^2 - 4x + k = 0 $

al variare del parametro reale $ k$.


Domanda 18. Sia $ f$ una funzione con $ f'(x)>0$ tale che $ f(0)=1$ e $ f(1)=\frac32$.

Quante soluzioni ha l'equazione $ f(x)=\frac43$ con $ 0\leq x\leq 1$?

A.
nessuna soluzione
B.
una soluzione
C.
due soluzioni
D.
non ci sono informazioni sufficienti per rispondere.


Domanda 19. Sia $ f$ una funzione con $ f''(x)<0$ tale che $ f(0)=1$ e $ f(1)=\frac32$.

Quante soluzioni ha l'equazione $ f(x)=\frac43$ con $ 0\leq x\leq 1$?

A.
nessuna soluzione
B.
una soluzione
C.
due soluzioni
D.
non ci sono informazioni sufficienti per rispondere.


Domanda 20. Sia $ f(x)$ una funzione derivabile in [0,1], con derivata prima positiva nell'Ïntervallo di definizione. Sia inoltre $ f(0) = 2$, $ f(1) = 4$. Allora si verifica

A.
$ \int_0^1 f(x) \, dx > 2$
B.
$ \int_0^1 f(x) \, dx > 4$
C.
$ \int_0^1 f(x) \, dx < 1$
D.
non ci sono dati sufficienti per rispondere


Esercizio 21. Un'industria ha bisogno in un anno di una quantità $ S$ di una certa materia prima, che consuma con regolarità. Si suppone quindi che, giorno o notte, giorno feriale o festivo, estate o inverno, ogni ora venga impiegata una eguale quantità della materia prima. Il problema è quanta ordinarne di volta in volta dal fornitore.

Ordinando una quantità $ x $, si ha un costo $ g
+ k x$, composto da un fisso $ g$ più un costo proporzionale alla quantità ordinata. Ordinando ogni volta una quantità $ x $, in un anno il numero totale degli ordini è $ S/x$.

Ai costi degli ordini, bisogna sommare il costo di gestione del magazzino che si assume proporzionale alla quantità mantenuta. Possiamo quindi supporre che, ordinando ogni volta una quantità $ x $ e aspettando che il magazzino si svuoti per fare un nuovo ordine, il costo di gestione del magazzino sia $ m
x$, dove $ m$ è una costante.


Esercizio 22. Modifichiamo il problema precedente, supponendo che l'industria abbia due possibili fornitori. Con il primo fornitore l'ordine di una quantità $ x $ costa $ 1,25 + 1,5 x$; con il secondo fornitore costa $ 5 + 0,25 x$. Ovviamente, a seconda della quantità $ x $ ordinata, l'industria sceglierà il fornitore che costa meno.

Svolgete ora l'esercizio precedente, ponendo $ m = 10$ e assegnando due possibili valori a $ S$: $ S= 25$ e $ S= 50$.


Esercizio 23. Un istituto di ricerca demoscopica deve svolgere un sondaggio relativo a campagna di marketing di un certo prodotto. Deve scegliere quante persone $ n$ intervistare.

Per far ciò ha bisogno di un certo numero di intervistatori, avendo stabilito che ogni intervistatore non può contattare più di 50 persone per limiti di tempo. Per ogni intervistatore c'è un costo fisso $ k$ di istruzione; vi è inoltre un costo (lo poniamo uguale a 1) per ogni intervista compiuta.

Qual è il vantaggio di avere $ n$ grande? Quello di diminuire il margine di errore. Sulla base del fatto che il margine di errore di un sondaggio è (all'incirca) proporzionale a $ 1/\sqrt{n}$ e sulla valutazione dei risultati precedenti, l'istituto ritiene che il valore monetario della sua credibilità risultante dai buoni risultati ottenuti sia pari a $ 24
\sqrt{n}$. Di conseguenza, l'istituto intervisterà il numero $ n$ che massimizza $ 24
\sqrt{n}$ meno i costi derivanti dal sondaggio.

Trovate $ n$ supponendo il costo fisso $ k = 1$ oppure $ k = 10$ oppure $ k = 25$.



Stefano Bonaccorsi
2000-04-17