Sistemi lineari.

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$\bullet$ Vettori: n-ple ordinate di numeri reali, dove ``ordinate'' intende che ci interessa tenere presente l'ordine in cui i numeri sono scritti. Esempio:

\begin{displaymath}\vec{u} = \left(\begin{array}{c}-1 \\ \pi \\ 0 \end{array} \right);
\vec{v} = \Big( 2, -1, 4, e^{-2}, \sqrt{3}, -\frac12 \Big)
\end{displaymath}

$\vec{u}$ è un vettore colonna di lunghezza 3; $\vec{v}$ è un vettore riga di lunghezza 6.

Indicheremo con ${\bf R}^n$ l'insieme (spazio vettoriale) dei vettori di lunghezza n. In particolare fissiamo il vettore $\displaystyle
\vec{0} = \left(\begin{array}{c}0 \\ \vdots \\ 0 \end{array} \right)$.


$\bullet$ Operazioni sui vettori: consideriamo di una lunghezza fissata n, che scriveremo sempre in colonna; possiamo definire la somma $\vec{u} + \vec{v}$

\begin{displaymath}\left(\begin{array}{c}-1 \\ 3 \\ 0 \end{array} \right) +
\lef...
...right) =
\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)
\end{displaymath}

ed il prodotto per uno scalare $\alpha \cdot \vec{u}$

\begin{displaymath}-2\cdot \left(\begin{array}{c}2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) =
\left(\begin{array}{c}-4 \\ 4 \\ -2 \end{array} \right)
\end{displaymath}


$\bullet$ Combinazione lineare di vettori: prendiamo m vettori (di lunghezza fissata n) $\vec{u_1}, \dots, \vec{u_m}$e m numeri reali; diremo che $\vec{w}$ è combinazione lineare di $\vec{u_1}, \dots, \vec{u_m}$ se

\begin{displaymath}\vec{w} = a_1 \cdot \vec{u_1}+ \dots + a_m \vec{u_m}.\end{displaymath}


Esercizio 1. Riconoscere che il vettore $\displaystyle
\vec{w} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}\right)$è combinazione lineare dei vettori $\displaystyle
\vec{u} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right)$ e $\displaystyle
\vec{v} = \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array}\right)$.


Soluzione. Bisogna trovare due numeri reali x e y tali che $x \cdot\vec{u} + y \cdot\vec{v} = \vec{w}$; ricordando le proprietà delle operazioni sui vettori, risulta

\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}{rl}
x\cdot 0 + y\cdot (-1) =& \!\! 2 \\
x\cdot 1 + y\cdot (1) =& \!\! 1
\end{array}\right.
\end{displaymath}

da cui x=3, y=-2.


$\bullet$ I vettori $\vec{v_1}, \dots, \vec{v_n}$ sono linearmente indipendenti se ogni loro combinazione lineare che ha come risultato $\vec{0}$ ha tutti i coefficienti nulli.


Esercizio 2. Riconoscere che i vettori $\displaystyle
\vec{u} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right)$ e $\displaystyle
\vec{v} = \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array}\right)$sono linearmente indipendenti.


Soluzione. Bisogna trovare due numeri reali x e y tali che $x \cdot\vec{u} + y \cdot\vec{v} = \vec{0}$; ricordando le proprietà delle operazioni sui vettori, risulta

\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}{rl}
x\cdot 0 + y\cdot (-1) =& \!\! 0 \\
x\cdot 1 + y\cdot (1) =& \!\! 0
\end{array}\right.
\end{displaymath}

da cui x=0, y=0.


$\bullet$ Questo esercizio introduce allo studio dei sistemi lineari. In generale, avremo un sistema del tipo

\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}{rl}
a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \dots + a...
..._{m2} x_2 + \dots + a_{mn} x_n =& \!\! b_m
\end{array}\right.
\end{displaymath}

dove leggiamo m equazioni in n incognite $x_1, \dots x_n$.


$\bullet$ Operazioni sui sistemi: possiamo operare su un sistema senza modificare le soluzioni nei seguenti modi:

$\circ$ scambiare tra loro due righe;

$\circ$ sostituire ad una riga un multiplo della stessa;

$\circ$ sostituire ad una riga (un multiplo de) la stessa sommato a (un multiplo di) un'altra.


$\bullet$ Il metodo di triangolazione. Per risolvere un sistema dovremo portarlo in forma triangolare, ossia (supponiamo per semplicità n=m)

\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}{rl}
a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + a_{13} x_...
...& \!\! b_2 \\
\\
a_{nn} x_n =& \!\! b_m
\end{array}\right.
\end{displaymath}

tutti gli elementi sotto la diagonale sono nulli.


Esercizio 3. Risolvere il sistema

\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}{rl}
x + 2 y -z =& \!\! 1 \\
2x + y + z =& \!\! 2 \\
x - y -2 z =& \!\! 0
\end{array}\right.
\end{displaymath}

attraverso il metodo di triangolazione.


Soluzione. Utilizziamo le regole date in precedenza: attraverso l'operazione

\begin{displaymath}(2^a R) \longleftarrow2 (1^a R) - (2^a R)
\end{displaymath}

otteniamo il sistema equivalente

\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}{rl}
x + 2 y -z =& \!\! 1 \\
3 y -3z =& \!\! 0 \\
x - y -2 z =& \!\! 0
\end{array}\right.
\end{displaymath}

Dividiamo la seconda riga per 3 e modifichiamo la terza attraverso l'operazione

\begin{displaymath}(3^a R) \longleftarrow(1^a R) - (3^a R)
\end{displaymath}

si ottiene il sistema equivalente

\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}{rl}
x + 2 y -z =& \!\! 1 \\
y - z =& \!\! 0 \\
3 y +z =& \!\! 1
\end{array}\right.
\end{displaymath}

ed infine da

\begin{displaymath}(3^a R) \longleftarrow(3^a R) - 3 ( 2^a R)
\end{displaymath}

si ottiene il sistema equivalente

\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}{rl}
x + 2 y -z =& \!\! 1 \\
y -z =& \!\! 0 \\
4z =& \!\! 1
\end{array}\right.
\end{displaymath}

da cui si ottengono le soluzioni:

\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}{rl}
x =& \!\! 1 - 2 y + z = 3/4 \\
y =& \!\! z = 1/4 \\
z =& \!\! 1/4
\end{array}\right.
\end{displaymath}




Stefano Bonaccorsi
1999-10-26