Sistemi lineari.
Vettori: n-ple ordinate di numeri reali, dove ``ordinate''
intende che ci interessa tenere presente l'ordine in cui i numeri sono
scritti. Esempio:
Indicheremo con l'insieme (spazio vettoriale) dei vettori di lunghezza n. In particolare fissiamo il vettore .
Operazioni sui vettori: consideriamo di una lunghezza fissata n,
che scriveremo sempre in colonna; possiamo definire la somma
Combinazione lineare di vettori: prendiamo m vettori (di lunghezza
fissata n)
e m numeri reali; diremo che
è combinazione lineare
di
se
Esercizio 1. Riconoscere che il vettore è combinazione lineare dei vettori e .
Soluzione. Bisogna trovare due numeri reali x e y tali che
;
ricordando le proprietà delle operazioni sui vettori, risulta
I vettori sono linearmente indipendenti se ogni loro combinazione lineare che ha come risultato ha tutti i coefficienti nulli.
Esercizio 2. Riconoscere che i vettori e sono linearmente indipendenti.
Soluzione. Bisogna trovare due numeri reali x e y tali che
;
ricordando le proprietà delle operazioni sui vettori, risulta
Questo esercizio introduce allo studio dei sistemi lineari.
In generale, avremo un sistema del tipo
Operazioni sui sistemi: possiamo operare su un sistema senza modificare le soluzioni nei seguenti modi:
scambiare tra loro due righe;
sostituire ad una riga un multiplo della stessa;
sostituire ad una riga (un multiplo de) la stessa sommato a (un multiplo di) un'altra.
Il metodo di triangolazione. Per risolvere un sistema
dovremo portarlo in forma triangolare, ossia (supponiamo per
semplicità n=m)
Esercizio 3.
Risolvere il sistema
Soluzione.
Utilizziamo le regole date in precedenza: attraverso l'operazione