PROGRAMMA EFFETTIVAMENTE SVOLTO nella prima parte del corso di
FONDAMENTI DI FISICA MATEMATICA per Matematica nell'a.a. 2009-2010


Le parti da conoscere per l'esame orale sono quelle indicate sotto in riferimento ai capitoli ed alle sezioni delle dispense. Le parti  indicate in rosso non sono richieste all'esame.
Eventuali commenti sono scritti accanto o sotto le varie sezioni.  Come commento generale, preciso che gli esercizi, le osservazioni, e gli esempi sono richiesti  all'orale solo se  sono stati svolti a lezione.


Cap 1. Lo Spaziotempo della Fisica Classica e Cinematica.

1.1 Lo spaziotempo della fisica classica: Tempo e Spazio assoluti e linee di universo 10
1.2 Sistemi di riferimento 
1.2.2 Sistemi di coordinate solidali

Commento: delle sezioni di sopra non è necessario conoscere i dettagli matematici di geometria differenziale.
La nozione di spazio affine e simili non saranno oggetto d'esame e saranno considerate acquisite (bisogna
saperle usare nelle applicazioni). La sezione 1.2.1 non è stata svolta e non è richiesta. Gli esercizi e gli esempi
sono richiesti  solo se sono stati svolti a lezione.

1.3 Cinematica assoluta del punto materiale
1.3.1 Derivazione di curve in spazi affini
1.3.2 Grandezze cinematiche

1.4 Cinematica relativa del punto materiale
1.4.1 Vettore omega e formule di Poisson
1.4.2 Velocità ed accelerazione al variare del riferimento

Commento: la sezione 1.3.3  è stata svolta solo in parte (vedere gli appunti presi a lezione).

Cap 2. Dinamica del punto e dei sistemi di punti materiali.

2.1 Primo principio della dinamica
2.1.1 Sistemi di riferimento inerziali
2.1.2 Trasformazioni di Galileo
2.1.3 Moto relativo di riferimenti inerziali

2.2 Formulazione generale della dinamica classica dei sistemi di punti materiali
2.2.1 Masse, Impulsi e Forze
2.2.2 Sovrapposizione delle forze
2.2.3 Problema fondamentale della dinamica e determinismo
2.3 Situazioni dinamiche più generali
2.3.1 Moto assegnato per un sottosistema: forze dipendenti dal tempo.
2.3.2 Vincoli geometrici: reazioni vincolari

Commento: La sezione 2.3.2 è stata svolta solo parzialmente (vedere gli appunti presi a lezione).

2.3.3 Dinamica in riferimenti non inerziali: forze inerziali
2.4 Alcuni commenti sulla formulazione generale sulla dinamica newtoniana
2.4.1 Invarianza galileiana della meccanica classica
2.4.2 *Un commento sul cosiddetto “Principio di Mach”

Commento: la sezione 2.4 è stata solo accennata, non bisogna sapere nulla di più dei pochi accenni fatti a lezione.

Cap 3. Introduzione alla teoria delle equazioni differenziali ordinarie.

3.1 Sistemi di equazioni differenziali
3.1.1 Riduzione al prim’ordine
3.1.2 Problema di Cauchy
3.1.3 Integrali primi  (qualche accenno)
3.2 Alcune nozioni e risultati preparatori per il teoremi di esistenza e unicità 
3.2.1 Lo spazio di Banach C^0(K;K^n)
3.2.2 Teorema del punto fisso in spazi metrici completi
3.2.3 Funzioni lipschitziane
3.3 Teoremi di esistenza ed unicità per il problema di Cauchy
3.3.1 Teorema di esistenza ed unicità locale per il problema di Cauchy
3.3.2 Condizione per gli integrali primi (qualche accenno)
3.3.3 Teorema di esistenza ed unicità globale per il problema di Cauchy
3.3.4 Equazioni differenziali lineari (non svolto in dettaglio, vedere appunti presi a lezione)
3.3.5 Struttura dell’insieme delle soluzioni di un’equazione lineare (non svolto in dettaglio, vedere appunti presi a lezione)
3.3.6 Completezza di soluzioni massimali (solo qualche accenno)
3.4 *Confronto tra equazioni differenziali, dipendenza dalle condizioni iniziali e da
parametri
3.4.1 Lemma di Gronwall e sue conseguenze
3.4.2 Regolarità della dipendenza dai dati di Cauchy e questioni connesse
3.5 *Problema di Cauchy su varietà differenziabili
3.5.1 Problema di Cauchy, esistenza ed unicità globali
3.5.2 Completezza delle soluzioni
3.5.3 Gruppi di diffeomorfismi locali ad un parametro
3.5.4 Esistenza di integrali primi funzionalmente indipendenti


Cap. 6 Introduzione alla teoria della stabilità.

6.1 Punti singolari e configurazioni di equilibrio
6.1.1 Equilibrio stabile ed instabile
6.1.2 Introduzione ai metodi di Liapunov per lo studio della stabilità
6.1.3 *Ancora sulla stabilità asintotica
6.1.4 Un criterio per l’instabilità basato sulla procedura di linearizzazione
6.2 Applicazioni a sistemi di punti materiali con forze conservative
6.2.1 Il teorema di Lagrange-Dirichlet
6.2.2 Un criterio per l’instabilità

Cap. 7 Fondamenti di Meccanica Lagrangiana.

7.1 Un esempio introduttivo
7.2 Il caso generale: sistemi olonomi ed equazioni di Eulero-Lagrange
7.2.1 Spaziotempo delle configurazioni in presenza di vincoli olonomi
7.2.2 Grandezze cinematiche ed energia cinetica
7.2.3 Spostamenti virtuali e vincoli ideali
7.3 Equazioni di Eulero-Lagrange e loro proprietà elementari
7.3.1 Normalit`a delle equazioni di Eulero-Lagrange
7.3.2 Spaziotempo degli atti di moto ed invarianza delle equazioni di Eulero-
Lagrange
7.3.3 Lagrangiane
7.3.4 Cambiamento di riferimento inerziale e non unicità della lagrangiana
7.4 *Formulazione geometrico differenziale globale delle equazioni di Eulero-Lagrange.
7.4.1 La struttura di variet`a fibrata di V^{n+1} e di j^1(V^{n+1})
7.4.2 Il campo vettoriale dinamico Z

Commento:La proposizione 7.1 è stata enunciata ma non provata.
La proposizione 7.3 è stata accennata ma non  provata.


Cap. 8 Alcuni argomenti più  avanzati di Meccanica Lagrangiana.

8.1 Il cosiddetto “Principio di Minima Azione” per sistemi che ammettono lagrangiana.
8.1.1 Primi rudimenti di calcolo delle variazioni
8.1.2 Il principio di minima azione
8.2  I potenziali generalizzati (svolto da Pagani)
8.2.1 Il caso della forza di Lorentz (svolto da Pagani)
8.2.2 Generalizzazione della nozione di potenziale (svolto da Pagani)
8.2.3 Condizioni per l’esistenza del potenziale generalizzato (svolto da Pagani)
8.2.4 Potenziali generalizzati delle forze inerziali 230
8.3 Configurazioni di equilibrio e stabilità  233
8.3.1 Configurazioni di equilibrio rispetto ad un riferimento 233
8.3.2 Equilibrio stabile ed instabile, teorema di Lagrange-Dirichlet 239
8.4 Introduzione alla teoria delle piccole oscillazioni e delle coordinate normali 243
8.4.1 Equazioni linearizzate e disaccoppiate: coordinate normali 244
8.4.2 Pulsazioni normali (o proprie) e modi normali di oscillazione 248


Cap. 9 Simmetrie e leggi di conservazione: teoremi di Noether e di Jacobi.

9.1 Il legame tra simmetria e leggi di conservazione: coordinate cicliche
9.1.1 Coordinate cicliche e conservazione dei momenti coniugati
9.1.2 Invarianza traslazionale e conservazione dell’impulso
9.1.3 Invarianza rotazionale e conservazione del momento angolare
9.2 Il legame tra simmetrie e leggi di conservazione: il teorema di Emmy Noether
9.2.1 Trasformazioni su j^1(V^{n+1})
9.2.2 Il teorema di Noether in forma locale elementare
9.2.3 Invarianza dell’integrale primo di N¨other per trasformazione di coordinate
9.2.4 Le trasformazioni di simmetria (debole) di un sistema lagrangiano trasformano
soluzioni delle equazioni di E.-L. in soluzioni delle stesse
9.3 L’integrale primo di Jacobi, invarianza sotto “traslazioni temporali” e conservazione dell’energia meccanica
9.4 Commenti finali sul teorema di Nother
9.4.1 Invarianza sotto il gruppo di Galileo in meccanica lagrangiana
9.4.2 Formulazione lagrangiana e teorema di Noether oltre la meccanica classica
9.5 *Formulazione generale e globale del Teorema di Noether.
9.5.1 Il teorema di Noether nella forma generale
9.5.2 Il vettore di Runge-Lenz dal teorema di Noether
9.5.3 L’integrale primo di Jacobi come conseguenza del teorema di Noether

Commento:
La sezione 9.4 e sottosezioni sono state solo accennate a lezione, è sufficiente conoscere quanto detto a lezione.


Appendice A. Alcune nozioni matematiche rilevanti.

A.1 Elementi di Geometria Affine
A.1.1 Spazi affini
A.1.2 Spazi Euclidei
A.1.3 Orientazione di spazi Euclidei
A.2 Elementi di geometria differenziale
A.2.1 Richiami di Topologia elementare
A.2.2 Variet`a differenziabili


Commento: dell'appendice A è sufficiente conoscere (ma non verrà chiesto nulla all'esame) gli strumenti
matematici che sono stati usati nel corso. Essenzialmente è tutto contenuto nelle sezioni indicate sopra.
La nozione di varietà differenziabile è sufficiente conoscerla in modo più o meno intuitivo come presentata a lezione.