Programma effettivamente svolto della prima parte del corso di Fondamenti di Fisica Matematica,
nella sola parte tenuta dal docente  Prof. V. Moretti nell'anno accademico 2010-2011.

Le parti svolte svolte sono indicate in rosso.

N.B. Le dispense di riferimento sono quelle presenti nel file sulla colonna di destra nella pagina web
delle dispense.

4 Introduzione alla teoria delle equazioni differenziali ordinarie 88 (negli esempi 4.2 non è stato fatto tutto, vedere sul quaderno)
4.1 Sistemi di equazioni differenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.1.1 Riduzione al prim'ordine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.1.2 Problema di Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.1.3 Integrali primi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.2 Alcune nozioni e risultati preparatori per il teoremi di esistenza e unicità . . . . . 91
4.2.1 Lo spazio di Banach C^0(K;K^n). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.2.2 Teorema del punto fisso in spazi metrici completi. . . . . . . . . . . . . . 95
4.2.3 Funzioni lipschitziane. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.3 Teoremi di esistenza ed unicità per il problema di Cauchy. . . . . . . . . . . . . . 99
4.3.1 Teorema di esistenza ed unicità locale per il problema di Cauchy. . . . . . 99 (lemma 4.1 non enunciato esplicitamente)
4.3.2 Condizione per gli integrali primi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.3.3 Teorema di esistenza ed unicità globale per il problema di Cauchy. . . . . 106
4.3.4 Equazioni differenziali lineari. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 (proposizione 4.4 solo enunciata)
4.3.5 Struttura dell'insieme delle soluzioni di un'equazione lineare. . . . . . . . 112 (conoscere solo i risultati, le dimostrazioni sono facoltative)
4.3.6 Completezza di soluzioni massimali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121


7 Introduzione alla teoria della stabilità . 182 
7.1 Punti singolari e configurazioni di equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 (a lezione è stata svolta una versione leggermente più semplificata, nel caso di dubbio la versione ufficiale è quella fatta a lezione)
7.1.1 Equilibrio stabile ed instabile. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
7.1.2 Introduzione ai metodi di Liapunov per lo studio della stabilità . . . . . . 187 (fino al teorema 7.2 escluso ma aggiungere il primo degli esempi 7.2)
7.1.3 *Ancora sulla stabilità asintotica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
7.1.4 Un criterio per l'instabilità basato sulla procedura di linearizzazione. . . 194
7.2 Applicazioni a sistemi fisici della meccanica classica. . . . . . . . . . . . . . . . . 197
7.2.1 Il teorema di Lagrange-Dirichlet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
7.2.2 Un criterio per l'instabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
7.2.3 Stabilità delle rotazioni permanenti per corpi rigidi non giroscopici. . . . . 205


9 Alcuni argomenti più avanzati di Meccanica Lagrangiana. 259
9.1 Il cosiddetto ''Principio di Minima Azione" per sistemi che ammettono lagrangiana.259
9.1.1 Primi rudimenti di calcolo delle variazioni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
9.1.2 Il principio di minima azione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
9.2 I potenziali generalizzati. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
9.2.1 Il caso della forza di Lorentz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
9.2.2 Generalizzazione della nozione di potenziale. . . . . . . . . . . . . . . . . 266
9.2.3 Condizioni per l'esistenza del potenziale generalizzato. . . . . . . . . . . . 268
9.2.4 Potenziali generalizzati delle forze inerziali. . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
9.3 Configurazioni di equilibrio e stabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 (no (2) in osservazioni 9.5 e no proposizione 9.3 ed esempi 9.2)
9.3.1 Configurazioni di equilibrio rispetto ad un riferimento. . . . . . . . . . . . 273
9.3.2 Equilibrio stabile ed instabile, teorema di Lagrange-Dirichlet. . . . . . . . 279 (del teorema 9.3
no la parte riguardante l'asintotica stabilità)
9.4 Introduzione alla teoria delle piccole oscillazioni e delle coordinate normali. . . . 283
9.4.1 Equazioni linearizzate e disaccoppiate: coordinate normali. . . . . . . . . 284
9.4.2 Pulsazioni normali (o proprie) e modi normali di oscillazione. . . . . . . . 288