Giornate di Geometria Algebrica e argomenti correlati IX

Levico Terme (TN) 27-31 maggio 2008

Abstracts

 

Lucian Bădescu - Some applications of the Grothendieck-Lefschetz theory
In this lecture I will report on two applications of the Grothendieck-Lefschetz theory (SGA2-1962) and of some results of Faltings on formal geometry (1978). The first application consists in proving various type Barth-Lefschetz theorems concerning low-codimensional submanifolds in some projective rational homogeneous spaces.The second application offers an approach to find necessary conditions for a submanifold of P^n to be a set-theoretic complete intersection.
Lucian Bădescu - A connectedness theorem for products of weighted projective spaces
One presents a connectedness theorem (a la Fulton-Hansen) for a product of weighted projective spaces (work in collaboration with Flavia Repetto). Some applications are also given.
Frédéric Campana - Special orbifolds and birational classification.
After introducing the notions of geometric orbifolds and special manifolds, we shall show how these are relevant to the birational classification of complex projective manifolds for reasons beyond the log minimal model program. We shall also indicate they relationships with complex hyperbolicity and arithmetic geometry.
Elena Andreini - Coomologia Quantistica di gerbes radici di fibrati lineari
Parleremo della Coomologia Quantistica di gerbes che sono radici di fibrati lineari su varietà lisce proiettive. Sia F una gerbe radice di un line bundle su una varietà liscia proiettiva X. Lo spazio dei moduli delle mappe twistate stabili ad F ha esso stesso una struttura di gerbe. La sua base è uno stack con un morfismo di struttura allo spazio dei moduli delle mappe stabili ad X ed è ottenibile da quest'ultimo con una costruzione (introdotta in K. Matsuki, M. Olsson Math. Res. Letters 12 (2005), 207-217) che fa uso della geometria logaritmica. Il morfismo naturale tra i due spazi di moduli è tale che è possibile usare un risultato (dovuto a K.Costello, arXiv:math/0303387) per il pushforward della classe fondamentale virtuale dello spazio dei moduli delle mappe alla gerbe. Ciò permette di esprimere in maniera molto semplice la teoria orbifold di Gromov-Witten della gerbe in genere zero in termini della teoria di Gromov-Witten della base. Mostriamo che le Coomologie Quantiche di gerbes radici di un fibrato lineare (non isomorfe) sono isomorfe a menodi una redefinizione dei parametri quantistici che interpretiamo come uno shift di fase dovuto a un "B-field" .
Michele Bolognesi - Superfici quartiche e fibrati in coniche
Sia C una curva liscia di genere 2 ed SU(2) lo spazio di moduli di fibrati vettoriali su C semi-stabili di rango 2 a determinante banale. E' un risultato oramai classico che SU(2) sia isomorfo a P^3 e che la frontiera semi-stabile sia una superficie di Kummer immagine di Pic^1(C) in P^3. Le classi di estensione del fibrato canonico con il fibrato anti-canonico sono parametrizzate da un P^4. Esiste quindi una mappa razionale classificante P^4 ------> P^3. In questo seminario descriverò il luogo delle estensioni strettamente semi-stabili invarianti rispetto all'involuzione iperellittica come una superficie quartica nota classicamente con il nome di superficie di Weddle. Poi studierò l'applicazione classificante dimostrando come, scoppiando P^4 lungo una superficie cubica e P^4 in un punto si ottenga un fibrato in coniche su P^3. Concluderò parlando delle deformazioni del fibrato proiettivo associato a questo fibrato in coniche e esponendo una piccola congettura a riguardo.
Ada Boralevi - Fibrati vettoriali omogenei su varietà di bandiera e rappresentazioni di Quivers
La categoria dei fibrati omogenei su una varietà di bandiera X=G/P, G gruppo di Lie di tipo ADE è equivalente alla categoria delle rappresentazioni finito-dimensionali di un certo quiver Q_X con relazioni associato alla varietà. Tale equivalenza è stata introdotta da Bondal e Kapranov nel 1990, e poi approfondita da Hille (1994). Nel caso speciale dove X è Hermitiana simmetrica, Ottaviani e Rubei (2005) si sono serviti di questa equivalenza per calcolare la coomologia dei fibrati vettoriali omogenei, generalizzando il ben noto Teorema di Bott (che vale solo per fibrati irriducibili). Nel mio talk mostrerò cosa si può dire nel caso generale. Mostrerò come calcolare le sezioni di un fibrato omogeneo su una qualsiasi varietà X come sopra. Come applicazione si ottiene la semplicità dei fibrati tangenti su queste varietà, e quindi la loro stabilità rispetto ad una particolare polarizzazione.
Simone Busonero - Schemi di Picard compattificati e mappe di Abel per curve singolari
La mappa di Abel di grado d di una curva liscia X è un morfismo proiettivo dal d-esimo prodotto simmetrico di X in Pic^dX, le cui fibre sono le serie lineari complete di grado d. In una famiglia di curve non singolari, tale morfismo varia con continuità; da qui l'interesse a studiare le degenerazioni di tali mappe per famiglie che si specializzano a curve singolari. Recentemente, L.Caporaso ha mostrato come, usando i modelli di Nèron, si ottiene una descrizione concreta di queste degenerazioni nel caso in cui il loro target è uno schema di Picard compattificato di tipo Nèron. In questo seminario presenterò un risultato riguardante l'esistenza di una mappa di Abel naturale quando il target è uno schema di Picard compattificato degenere.
Alessio del Padrone - Molteplicità in categorie tensoriali rigide semisemplici
Bruno Kahn, in connessione con lo studio dei Motivi numerici e delle loro funzioni zeta, ha introdotto una nozione astratta di " molteplicità '' per gli oggetti di una qualunque categoria tensoriale rigida semisemplice (ad esempio, la categoria dei Motivi di Grothendieck). Kahn e Charles Weibel hanno posto alcune questioni su questa nuova nozione in ambito generale (compatibilità con la struttura tensoriale, relazione con la Schur-finitezza). In questo seminario rispondiamo (negativamente) a queste domande lavorando nella "categoria delle rappresentazioni del gruppo simmetrico di S_t con t non intero" costruita da P. Deligne.
Damiano Fulghesu - L'anello di intersezione dello stack di curve iperellittiche lisce di genere pari
Grazie ad un risultato di Arsie e Vistoli, sappiamo che lo stack delle curve iperellittiche lisce di genere pari è il quoziente di un sottoinsieme aperto di una spazio affine per un'azione di GL2. Di conseguenza il suo anello di intersezione è una Z-algebra generata da due classi. In questo talk verrà descritto un naturale fibrato vettoriale sullo stack le cui classi di Chern generano l'anello e verrà esplicitato l'ideale delle relazioni.
Alice Garbagnati - Automorfismi simplettici di superfici di Kummer
Uno dei motivi di interesse nei confronti degli automorfismi simplettici di superfici K3 è che la desingolarizzazione del quoziente di una superficie K3 con un suo automorfismo simplettico, di ordine finito, è ancora una superficie K3. I gruppi finiti abeliani di automorfismi simplettici su superfici K3 sono stati classificati da Nikulin. Nello stesso lavoro egli ha anche dimostrato che l'azione indotta da questi gruppi sul secondo gruppo di coomologia della K3, \Lambda_{K3}, è essenzialmente unica e ha calcolato il discriminante di \Lambda_{K3}^G (sottoreticolo fissato per l'azione del gruppo G). Intendo presentare degli esempi di superfici K3 (in particolare superfici di Kummer) che ammettono alcuni di questi gruppi (abeliani finiti ma non ciclici) di automorfismi simplettici. Grazie agli esempi è possibile descrivere esplicitamente le isometrie che questi gruppi di automorfismi inducono su \Lambda_{K3}. In particolare tramite questi esempi si mostra che la tecnica utilizzata da Nikulin per calcolare il discriminante del reticolo \Lambda_{K3}^G non è corretta se il gruppo G non è ciclico.
Elisa Gorla - Linkage di schemi definiti da minori o pfaffiani
Molte varietà studiate in geometria algebrica classica sono definite da minori o pfaffiani. In questo seminario discuterò i risultati noti sulla classe di linkage di schemi definiti da minori o pfaffiani, in particolare alcuni miei risultati recenti sul linkage di schemi le cui equazioni sono date dai minori di una matrice con entrate polinomiali, o dai pfaffiani di una matrice generica antisimmetrica. I risultati sui pfaffiani sono ottenuti in collaborazione con E. De Negri (Università di Genova).
Aaron Levin - Runge's method and the effective computation of integral points
We discuss some variations on the classical method of Runge for effectively computing integral points on certain curves. In particular, we will expand the class of curves to which Runge's method can be effectively applied. As a concrete example, we will discuss the complete solution of some Diophantine equations involving (almost) squares in arithmetic progressions.
Matteo Longo - Congettura di Birch e Swinnerton-Dyer per curve ellittiche su ring class fields.
Sia E una curva ellittica di conduttore N definita sul campo Q dei numeri razionali. Sia K/Q un'estensione quadratica immaginaria il cui discriminante D sia primo con N ed indichiamo con H_c il ring class field di K di conduttore l'intero positivo c primo con DN. Sia \chi un carattere del gruppo di Galois G_c:=Gal(H_c/K) ed indico con E(H_c)^\chi il \chi-autospazio del C[G_c]-modulo E(H_c)\otimes{C}. A K e' associata la fattorizzazione N=N^+N^- dove un primo \ell divide N^+ (risepttivamente N^-) se e solo se \ell spezza (rispettivamente, e' inerte) in K. Supponiamo che N^- sia prodotto di un numero dispari di primi distinti. Questo implica che l'ordine di annullamento del twist L_K(E,\chi,s) per il carattere \chi della funzione L di E su K sia +1. Discuterò il seguente risultato: Se il valore speciale di L_K(E,\chi,s) è non nullo, allora la dimensione del \mathbb C-spazio vettoriale E(H_c)^\chi è zero. Questo risultato è ottenuto in collaborazione con S. Vigni.
Francesco Malaspina - Regolarità e Criteri di Spezzamento per Fibrati Vettoriali su varietà proiettive
Un risultato classico di Horrocks caratterizza i fibrati vettoriali senza coomologia intermedia su uno spazio proiettivo come somme dirette di fibrati lineari. Una dimostrazione molto semplice di questo criterio usa la regolarità secondo Castelnuovo-Mumford. E’ stato subito chiaro che questa definizione di regolarità era uno strumento fondamentale in molte aree della geometria algebrica e dell’algebra commutativa. Diverse estensioni di questa nozione sono stati proposti in differenti situazioni. Nel seminario introdurremo opportune definizioni di regolarità su ipersuperfici quadriche, spazi multiproiettivi e Grassmanniane di rette col fine di ottenere criteri di spezzamento per fibrati vettoriali.
Ernesto Mistretta - Fibrazioni isotriviali con \chi = 1.
L'obiettivo è una classificazione delle superfici di tipo generale con \chi = 1 ottenute come (desingolarizzazioni di) quozienti del prodotto di due curve per l'azione diagonale di un gruppo finito. Diamo alcune informazioni sulla classificazione delle superfici con p_g = q > 1, con i risultati di Beauville, Hacon-Pardini, Pirola, e più recentemente Zucconi, Penegini. Descriviamo piu' in dettaglio le costruzioni effettuate con F. Polizzi nel caso p_g = q = 1.
Filippo Morabito - Indice di Morse e dimensione del nucleo dell'operatore di Jacobi delle superfici di Costa-Hoffman-Meeks.
S. Nayatani nel 1995 ha calcolato i valori dell'indice di Morse (il numero degli autovalori negativi) e della dimensione del nucleo dell'operatore di Jacobi della superficie di Costa-Hoffman-Meeks di genere k, M_k, con k appartenente a [1,...,37]. Tale risultato permette di provare che M_k, per i suddetti valori di k, è non degenere. Tale proprietà é essenziale per poter costruire nuovi esempi di superfici minime a partire da M_k mediante una tecnica di incollamento. Lo stesso Nayatani congetturo' che il risultato da lui trovato continuasse a valere per k > 37. Nel mio lavoro ho dimostrato la veridicità di tale congettura. La dimostrazione utilizza la corrispondenza tra il nucleo dell'operatore di Jacobi e un opportuno spazio di forme differenziali quadratiche definite sulla compattificazione di M_k privata di un numero finito di punti.
Fabio Nironi - Moduli di fasci semistabili su stack di Deligne-Mumford
Introduciamo una nozione di stabilità per fasci coerenti puri su stack di Deligne Mumford proiettivi. Questo nuovo concetto di stabilità riproduce la già nota stabilità per fasci twistati nel caso di fasci su gerbe abeliane, e la nozione di stabilità parabolica nel caso di fasci su curve orbifold. Dimostriamo che in generale i fasci semistabili su uno stack di Deligne-Mumford proiettivo formano uno stack algebrico di tipo finito; i fasci stabili hanno uno spazio dei moduli che è uno schema quasi proiettivo e i fasci semistabili producono una naturale compattificazione.
Carla Novelli - Varietà proiettive di dimensione n che contengono uno spazio lineare di dimensione >= [n/2] con fibrato normale nef
Sia X una varietà complessa liscia di dimensione 2s+1 immersa in uno spazio proiettivo e sia \Lambda un sottospazio lineare di X di dimensione s. Nel corso del seminario classificheremo X assumendo che il fibrato normale sia numericamente effettivo. Questi risultati sono contenuti in un articolo in collaborazione con Gianluca Occhetta.
Tommaso Pacini - Da K3 a G_2, a braccetto con Fano
Tra i gruppi d'olonomia possibili su una varietà Riemanniana compatta, il gruppo G_2 è uno dei più difficili da realizzare. Kovalev ne ha dato una costruzione molto bella, in parte algebrica (usando 3-varieta' di Fano e sup. K3), in parte analitica. Rimane aperto il problema di come costruirvi dentro certe sottovarietà "speciali" (dette "associative"), d'interesse geometrico/fisico. Lo scopo del seminario è di introdurre questi argomenti e spiegare il ruolo dei vari ingredienti, poi presentare una generalizzazione (Corti-Haskins-Pacini) del lavoro di Kovalev che permette di costruire anche le sottovarietà.
Flavia Repetto - Un teorema tipo Barth-Lefschetz per sottovarietà lisce di un prodotto di spazi proiettivi.
E' un risultato ben noto (come conseguenza di un teorema topologico dovuto a Barth e Larsen) che se X è una sottovarietà liscia dello spazio proiettivo P^N_C di dimensione d, allora la mappa di restrizione tra i gruppi di Picard: Pic(P^N) ---> Pic(X) è un isomorfismo se N < 2d-1 ed è iniettiva con conucleo senza torsione se N=2d-1. In questo seminario presenterò un risultato (parte di un lavoro con Lucian Bădescu) riguardante il gruppo di Picard di una sottovarietà liscia di codimensione "piccola" del prodotto di due spazi proiettivi, migliorando alcuni risultati noti dovuti a Sommese. Darò anche due esempi che mostrano che i risultati ottenuti sono ottimali.
Luca Scala - Dualità Strana sul piano proiettivo e coomologia dello schema di Hilbert di punti su una superfice a valori in rappresentazioni di fibrati tautologici
Motivati da un importante esempio della congettura della Dualità Strana di Le Potier sul piano proiettivo, in relazione col morfismo di Barth, studiamo fibrati tautologici sullo schema di Hilbert di n punti su una superficie per mezzo della corrispondenza di McKay derivata e della trasformata di Bridgeland-King-Reid. Calcoliamo esplicitamente tale trasformata per un fibrato tautologico in termini di un complesso S_n-equivariante C sul prodotto X^n; caratterizziamo inoltre la trasformata di un prodotto tensoriale di fibrati tautologici in termini della sequenza spettrale associata al prodotto tensoriale derivato del complesso C. Lo studio degli invarianti di tale sequenza ci permette di ottenere l'immagine diretta derivata per il morfismo di Hilbert-Chow di un potenza tensoriale doppia di un fibrato tautologico, così come di una sua potenza esterna qualsiasi. Le formule di Brion-Danila così ottenute permettono di calcolare facilmente la coomologia dello schema di Hilbert a valori nella potenza tensoriale doppia e in una sua qualsiasi potenza esterna. Tali risultati generalizzano dei risultati ottenuti precedentemente da Danila. Discuteremo inoltre il lavoro in corso sulle potenze simmetriche superiori di fibrati tautologici, utili ai fini della Dualità Strana.
Jacopo Stoppa - K-stabilità di varietà polarizzate con curvatura scalare costante
Dimostriamo che una varietà polarizzata con una metrica di Kaehler di curvatura scalare costante e con automorfismi discreti è K-stabile, come previsto da un'osservazione di S. Donaldson.
Valentino Tosatti - Degenerazioni di varietà Calabi-Yau
Siamo interessati al comportamento di famiglie di metriche Kahleriane Ricci-piatte su una varietà algebrica Calabi-Yau, quando la polarizzazione degenera verso il bordo del cono ampio. Nel caso in cui la classe limite abbia volume positivo, le metriche covergono uniformemente sui compatti al di fuori di una sottovarietà algebrica, ed il limite è una metrica Ricci-piatta incompleta. Questa degenerazione corrisponde ad una contrazione birazionale, e la metrica limite è il pullback di una metrica Ricci-piatta singolare sull'immagine della contrazione, che è una varietà di Calabi-Yau con singolarità canoniche.
Dajano Tossici - Schemi in gruppo di ordine p^2 ed estensione di torsori
Sia R un anello di valutazione discreta di caratteristica mista e K il suo campo delle frazioni. Consideriamo il seguente problema. Sia X un R-schema fedelmente piatto e supponiamo di avere un torsore Y_K --> X_K sotto un gruppo astratto G. L'azione di G si estende alla chiusura normale Y di X in Y_K. Ci si chiede se Y --> X ha una struttura di torsore, sotto qualche schema in gruppo, che estenda quella di Y_K --> X_K. Questo è ben noto essere vero se la cardinalità di G è coprima con p, la caratteristica del campo residuo di R. Nel seminario consideremo il caso G= Z/pZ e G=Z/p^2Z, con X locale e normale. Per G= Z/pZ una risposta positiva al problema, con X di dimensione 1, è stata data ad esempio da Raynaud, Green-Matignon, Henrio, Saidi. Nel nostro approccio risulta cruciale la classificazione esplicita che daremo degli R-schemi in gruppi isomorfi sulla fibra generica a Z/p^nZ, n \le 2. Per n=1 era già nota tale classificazione. Il problema sopra enunciato emerge naturalmente nello studio locale di azioni di gruppi che agiscono su R-schemi.