Geometria III
Geometria III
Programma del corso
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Fogli esercizi
Bibliografia
Dispensa
Topologia algebrica
Varietà topologiche.
Superfici compatte, somma connessa, superfici Tg e Uh, triangolazioni e oriantabilità.
Omotopia di applicazioni continue, tipo d'omotopia, retratti.
CW-complessi finiti.
Gruppo fondamentale, omomorfismo indotto e teorem di invarianza per omotopia.
Gruppi con presentazione e teorema di Seifert-Van Kampen.
Il teorema di classificazione delle superfici compatte.
Rivestimenti.
Complessi di catene.
Complesso singolare e omologia singolare.
Teorema di invarianza per omotopia.
Significato geometrico di H0(X) e di di H1(X)
Successione esatta di Mayer-Vietoris
Omologia di una coppia.
Escissione. Omologia locale e orientabilità.
Analisi Complessa
Forma algebrica, trigonometrica, esponenziale; radici e formula di de Moivre. Condizioni di Cauchy-Riemann, funzioni armoniche e armoniche coniugate.
Serie di potenze e funzioni olomorfe; funzione esponenziale e funzioni goniometriche in C. Problemi del logaritmo. Logaritmo principale.
Integrale di una funzione complessa lungo una curva regolare a tratti. Esempi. Indice di un punto rispetto a una curva.
Lemma di Goursat. Teorema di Cauchy locale. Formula integrale locale. Teorema di Weierstrass. Formula delle derivate e sue conseguenze.
Cicli e catene omologhi. Teorema di Cauchy e formula integrale .
Convergenza quasi uniforme. Serie di Laurent. Singolarità isolate.
Teorema dei residui. Calcolo dei residui. Applicazioni al calcolo di integrali indefiniti e di somme di serie. Principio d'identità. Teorema dell'indicatore logaritmico. Teorema di Rouché.
Cenni su prolungamento analitico.
Kosniowski - Introduzione alla topologia algebrica, Zanichelli
Sernesi - Geometria 2, Bollati Boringhieri
Massey - A basic course in algebraic topology, Springer
Ahlfors - Complex Analysis, McGraw-Hill
Lang - Complex Analysis, Springer
Rudin - Real and complex analysis, McGraw-Hill
Dixon - A brief proof of Cauchy's integral theorem, Proc. Amer. Math. Soc. 29 1971 625-626
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Con l'anno accademico 2014 -2015 il corso di Geometria III è passato al professor Ghiloni. Questa pagina non sarà quindi più aggiornata.