29 febbraio 2000

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Integrali e calcolo delle probabilità.

Quando passiamo a considerare variabili aleatorie che assumono valori reali, non possiamo più assegnare un valore di probabilità al singolo punto. Introduciamo la nozione di funzione densità di probabilità:

La probabilità che una variabile aleatoria X, di densità di probabilità fX(x), assuma valori in un intervallo $I \subset {{\bf R}}$è pari all'integrale (area) della figura sottointesa dalla funzione fX(x) nell'intervallo I.


Esercizio. Una v. a. ha distribuzione uniforme nell'intervallo [0,6]. Determinare la funzione densità di X.

Soluzione. La fX(x) ha espressione del tipo

\begin{displaymath}f_X(x) = \cases{C & $0\leq x \leq 6$ \cr
0 & altrimenti}\end{displaymath}

In questo caso si ha

\begin{displaymath}1=P(X\in [0,6]) = \int_0^6 f_X(x) = 6C\end{displaymath}

da cui si ricava $C=\frac16$.


Esercizio. Determinare se possibile C in modo che la funzione

\begin{displaymath}f(x) = \cases{C & $0< x \leq 2$ \cr
\frac13 & $2 < x \leq 6$ \cr
0 & altrimenti}\end{displaymath}

sia una densità di probabilità.

Soluzione. Ricordiamo che, per definizione, deve essere

\begin{displaymath}\int_{{{\bf R}}} f(x) = 1\end{displaymath}

da cui

\begin{displaymath}2C + \frac13 4 = 1 \qquad C = -\frac16\end{displaymath}

Poiché f(x) deve essere non negativa, concludo che non è possibile risolvere positivamente l'esercizio.



Stefano Bonaccorsi
2000-03-02