5 ottobre 1999

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Esercizio 1. Cambiamento di base nei logaritmi. Come calcolare, attraverso una calcolatrice, il valore di $\log_2(7)$?

Possiamo discutere il problema in generale. Sia $T = \log_x(y)$ e dunque xT = y; passando al logaritmo in base z in entrambi i termini dell'eguaglianza si ottiene $T \log_z(x) = \log_z(y)$ e dunque

\begin{displaymath}\log_x(y) = \frac{\log_z(y)}{\log_z(x)}
\end{displaymath}

In particolare,

\begin{displaymath}\log_2(7) = \frac{\log_{10}(7)}{\log_{10}(2)} \simeq \frac{0.845098}{0.30103} = 2.807
\end{displaymath}


Esercizio 2. Controlliamo se l'eguaglianza

\begin{displaymath}\log_2(3) = \log_4(9)
\end{displaymath}

è vera. Dalla formula di cambio di variabile si ottiene

\begin{displaymath}\log_4(9) = \frac{\log_2(9)}{\log_2(4)} = \frac{2\log_2(3)}{2} = \log_2(3)
\end{displaymath}

e dunque si ottiene la tesi.


Funzione esponenziale. Modelli di crescita esponenziale a tempo discreto: ad esempio, la crescita di una popolazione di animali, in cui la nuova generazione nasce nello stesso periodo (ad esempio, in primavera). Lo stesso discorso vale se ipotizziamo che gli interessi su un conto bancario vengono pagati a fine periodo.

Si contrappongono a questi i modelli a tempo continuo. Dobbiamo sottolineare che queste distinzioni sono, spesso, di comodo; ad esempio, l'andamento di un conto corrente è approssimabile da un modello a tempo continuo, ma non è completamente esatto (gli interessi vengono calcolati sui giorni interi...)


Esercizio 3. Un certo investimento rende il 12% annuo e gli interessi vengono continuamente reinvestiti. Il capitale iniziale è fissato per semplicità uguale a 1. Calcolare il capitale dopo 4 mesi; dopo 1 anno; dopo 3 anni.


Esercizio 4. Un certo investimento rende il 12% annuo e gli interessi vengono continuamente reinvestiti. Supponendo di investire 10 milioni, dopo quanto tempo raggiungo la quota di 20 milioni investiti?


Esercizio 5. Un materiale radioattivo decade esponenzialmente; il tempo di dimezzamento è pari a 14 anni. Qual è la percentuale di materiale che decade in un anno? in 28 anni?



Stefano Bonaccorsi
1999-10-05