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Geometria 21 settembre 1999

Rispondere, giustificando brevemente la risposta, ad almeno due delle prime quattro domande e risolvere il maggior numero degli esercizi seguenti.

Domande.
  1. Siano $ v_1 = (-1,1,1), v_2 = (1,1,0), v_3 = (0,2,1)$ in $ R^3$. Esiste una applicazione lineare $ f: R^3 \rightarrow R^3$, tale che

    $\displaystyle F(v_1) = (1,0,0), F(v_2) = (0,1,0), F(v_3) = (1,1,0) ?$

  2. Siano $ g:U \rightarrow V$ ed $ f:V \rightarrow W$ applicazioni lineari. È vero che

    $\displaystyle \imm(f) \subset \imm(f \circ g)? $

  3. Sia $ r$ una retta in $ R^3$ e $ P$ un punto fuori di essa. Sia $ \mathcal{F}$ il fascio di piani che contiene $ r$ e $ \mathcal{G}$ l'insieme dei piani che contengono $ P$. Esiste sempre un piano comune a $ \mathcal{F}$ e $ \mathcal{G}$?
  4. Sia $ f: R^3 \rightarrow R^3$ un'applicazione lineare tale che l'equazione

    $\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)=(0,1,0)$

    abbia infinite soluzioni. La applicazione $ f$ è suriettiva?
Esercizi.
1) Discutere e trovare le soluzioni del seguente sistema al variare del parametro reale $ k$:

\begin{displaymath} \begin{cases} x+2y +z +w &= -1 \\ x+y -z +2w&= 1\\ 2x +ky +kw &= 0 \\ -ky-2z+kw &= 2\\ \end{cases}\end{displaymath}

2) Discutere la diagonalizzabilità della seguente matrice

$\displaystyle \left( \begin{matrix} -3&-6&-8\\ -6&-3&-8\\ 6&6&11 \end{matrix} \right ) $

e trovare, se possibile, una base di autovettori.

3) Siano $ r_1,r_2$ le rette in $ R^3$ di equazione

\begin{displaymath} r_1: \begin{cases} x = 1-t \\ y = -2 +t \\ z= 3+2t \en... ..._2: \begin{cases} x= 2+3t \\ y = -1-t \\ z=2 \end{cases}\end{displaymath}

Trovare il piano parallelo a $ r_1$ ed $ r_2$ ed equidistante da $ r_1$ e $ r_2$.



4) Dire per quali valori del parametro $ k$ l'applicazione $ g: R^3 \rightarrow R^3$ definita da

$\displaystyle g(x,y,z)=(x-y,z+2x+y,k+z) $

è lineare. Per tali valori scriverne la matrice rispetto alla base canonica, determinare $ \kker f$ e scriverne una base.
Soluzione
Domande
  1. La risposta è sì. Infatti esistono infinite applicazioni lineari con la proprietà richiesta. Tali applicazioni sono sono determinate dando l'immagine di un vettore $ w \in R^3$ indipendente da $ v_1$ e $ v_2$.
  2. La risposta è no. Infatti siano, per esempio, $ f$ una applicazione non identicamente nulla e $ g$ la applicazione nulla. Allora $ \imm(f) \neq \{ 0 \}$ e $ \imm (f \circ g)=\{0\}$
  3. La risposta è sì. Infatti esiste sempre un piano che contiene una retta e passa per un punto fuori di essa.
  4. La risposta è no. Infatti $ f$ non è iniettiva.
Esercizio 1.
La matrice dei coefficienti del sistema è la matrice:

$\displaystyle A=\left( \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 1\\ 1& 1 & -1 & 2\\ 2& k & 0 & k \\ 0& -k & -2 & k \end{matrix}\right) $

Per calcolare il determinante della matrice $ A$ si può applicare lo sviluppo di Laplace ad una riga o una colonna della matrice oppure ridurla con il metodo di Gauss.
Una possibile riduzione è:

$\displaystyle A$ $\displaystyle =\left( \begin{matrix}1 & 2 & 1 & 1\\ 1& 1 & -1 & 2\\ 2& k & 0 & ... ...0& -1 & -2 & 1\\ 2& 0 & -2 & 2k \\ 0& -k & -2 & k \end{matrix} \right) \leadsto$    
       
  $\displaystyle \begin{matrix}\\ 2I-III \\ \\ \end{matrix} \; \left( \begin{matri... ... & 1\\ 0& 0 & -2 & 1\\ 0& 6-2k & 4 & 2-2k \\ 0& 0 & -2 & k \end{matrix} \right)$    

Il determinante di $ A$ risulta:

$\displaystyle \dete{(A)}= 4(k^2-4k+3)=4(k-3)(k-1) $

Se $ k \neq 3,1$ esiste una e una sola soluzione del sistema.
La soluzione è

$\displaystyle x$ $\displaystyle = \frac{ \dete{\left( \begin{matrix}-1 & 2 & 1 & 1\\ 1& 1 & -1 & 2\\ 0& k & 0 & k \\ 2& -k & -2 & k \end{matrix}\right)}}{ \dete{(A)}} = 0$    
$\displaystyle y$ $\displaystyle = \frac{\dete{\left( \begin{matrix}1 & -1 & 1 & 1\\ 1& 1 & -1 & 2\\ 2& 0 & 0 & k \\ 0& 2 & -2 & k \end{matrix}\right)}} { \dete{(A)}} =0$    
$\displaystyle z$ $\displaystyle = \frac{\dete{\left( \begin{matrix}1 & 2 & -1 & 1\\ 1& 1 & 1 & 2\\ 2& -k & 0 & k \\ 0& k & 2 & k \end{matrix}\right)}}{ \dete{(A)}} =-1$    
$\displaystyle w$ $\displaystyle = \frac{\dete{\left( \begin{matrix}1 & 2 & 1 & -1\\ 1& 1 & -1 & 1\\ 2& -k & 0 & 0 \\ 0& k & -2 & 2 \end{matrix}\right)}}{ \dete{(A)}} =0$    

Se $ k=3$ il sistema dato è equivalente al sistema:

\begin{displaymath} \begin{cases} x+2y+z+w=-1 \\ -y-2z+w=2 \\ 4z=-4 \end{cases}\end{displaymath}

che ammette infinite soluzioni:

$\displaystyle x$ $\displaystyle =-3t$    
$\displaystyle y$ $\displaystyle =t$    
$\displaystyle z$ $\displaystyle =-1$    
$\displaystyle w$ $\displaystyle =t \quad t \in R.$    

Infine se $ k=1$ il sistema dato è equivalente al sistema:

\begin{displaymath} \begin{cases} x+2y+z+w=-1 \\ -y-2z+w=2 \\ z-w=-1 \end{cases}\end{displaymath}

che ammette infinite soluzioni:

$\displaystyle x$ $\displaystyle =0$    
$\displaystyle y$ $\displaystyle =-t$    
$\displaystyle z$ $\displaystyle =-1+t$    
$\displaystyle w$ $\displaystyle =t \quad t \in R.$    

Esercizio 2.
Il polinomio caratteristico della matrice è :

$\displaystyle p(\lambda)= ( \lambda+1)(\lambda-3)^2 $

dumque gli autovalori sono $ \lambda_1=-1$ con molteplicità algebrica $ 1$ e $ \lambda_2=3$ con molteplicità algebrica $ 2$.
L'autospazio relativo all'autovalore $ 3$ è

$\displaystyle V_3$ $\displaystyle = \kker (A-3I)= \kker \left ( \begin{matrix}6 &6 & 8 \\ -6 &-6 &-8 \\ 6 & 6 & 8 \end{matrix} \right )$        
  $\displaystyle = \{ (x,y,z) \in R^3\;\vert\; 3x+3y+4z=0 \} = \sppan \left \{ \le... ...\right ),\; \left ( \begin{matrix}0 \\ 4 \\ -3 \end{matrix} \right ) \right \}.$        

L'autospazio relativo all'autovalore $ -1$ è

$\displaystyle V_{-1}$ $\displaystyle = \kker (A-3I)= \kker \left ( \begin{matrix}-2 &-6 & -8 \\ -6 &-2 &-8 \\ 6 & 6 & 12 \end{matrix} \right )$        
           
  $\displaystyle = \left \{ (x,y,z) \in R^3\;\vert\; \begin{cases}x+3y+4z=0 \\ y+z... ...an \left \{ \left( \begin{matrix}-1 \\ -1 \\ 1 \end{matrix} \right ) \right \}.$        

Concludiamo che la matrice è diagonalizzabile e una base di autovettori è data

$\displaystyle \mathcal{B}= \left \{ \left( \begin{matrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end... ...t ),\; \left ( \begin{matrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{matrix}\right ) \right \} $

Esercizio 3.
La retta $ r_1$ ha parametri direttori $ (-1,1,2)$ mentre la retta $ r_2$ ha parametri direttori $ (3,-1,0)$. Un generico piano $ \pi$ di equazione cartesiana

$\displaystyle ax+by+cz=d $

risulta parallelo alle rette $ r_1$ e $ r_2$ se e solo se il vettore $ n_{\pi}=(a,b,c)$ è ortogonale ai vettori $ v_1=(-1,1,2)$ e $ v_2=(3,-1,0)$. Devve essere allora verificato il sistema

\begin{displaymath} \begin{cases} -a+b+2c=0 \\ 3a-b=0 \end{cases}\end{displaymath}

da cui

$\displaystyle b=3a \quad c=-a. $

L'equazione cartesiana di $ \pi$ risulta allora essere

$\displaystyle ax+3ay-az=d. $

La distanza del piano $ \pi$ dalla retta $ r_1$ è

$\displaystyle d(r_1,\pi)= \frac{\vert a-6a-3a+d \vert}{\sqrt{11a^2}}= \frac{\vert d-8a \vert}{\sqrt{11a^2}} $

mentre la distanza del piano $ \pi$ dalla retta $ r_2$ è

$\displaystyle d(r_2,\pi)= \frac{\vert 2a-3a-2a+d \vert}{\sqrt{11a^2}}= \frac{ \vert d-3a \vert}{\sqrt{11a^2}}. $

Imponendo che le distanze siano uguali si ottiene

$\displaystyle d=\frac{11}{2}a $

pertanto l'equazione cartesiana di $ \pi$ è:

$\displaystyle 2x+6y-2z+11=0. $

Esercizio 4.
L'applicazione è lineare solo per $ k=0$. In questo caso la matrice della applicazione è

$\displaystyle M=\left( \begin{matrix} 1 & -1 & 0\\ 2 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right). $

Poichè il determinante di $ M$ è non nullo abbiamo che il nucleo della applicazione è costituito dal solo vettore nullo.

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Andreatta Marco
2000-09-18