Geometria 3 febbraio 2000.

Domande.

1. Sia $M$ una matrice quadrata. Il determinante della trasposta $M^{t}$ è uguale a :
   $$\boxtimes \; \dete(M) \qquad \qquad\square \; -\dete(M) \qquad \qquad\square \;\frac{1}{\dete(M)}.$$

2. Siano $A$,$B$, $C$ matrici quadrate di ordine $n$. L'uguaglianza
   $$A+B=A+C$$
   implica:
   $$\boxtimes \; B=C \qquad \square \;B=C \;\;\textrm{se e solo se}\;\; \dete(A) \neq 0 \qquad\square \;A \;\;\textrm{\\lq e la matrice nulla.}$$

3. Siano $v_1$, $v_2$, $v_3$ e $v_4$ vettori in $R^3$. L'insieme
   $$\{v_1,\; v_2,\;v_3,\;v_4 \}$$
   è:

   $$\boxtimes \;\textrm{linearmente dipendente}\;\; \square \;\textrm{linearmente indipendente}\;\; \square \textrm{ possono verificarsi}$$

   $$\textrm{ entrambi i casi.}$$

   
   

4. Sia $M(2 \times 2, R)$ lo spazio vettoriale delle matrici $2 \times 2$ a coefficienti reali. Sia
   $$S= \left\{A \in M(2 \times 2, R)\; \vert \; \dete(A) \neq 0 \right \}.$$

   $$\boxtimes S\; \textrm{non \\lq e un sottospazio di $M(2 \times 2, R)$}. \square S \;\textrm{\\lq e un sottospazio di $M(2 \times 2,R)$}.$$

   $$\square S \cup \{0\}\;\textrm{\\lq e un sottospazio di $M(2 \times 2,R)$\ }.$$

   
   

5. Sia $f:\;R^n \rightarrow R^m$ una applicazione lineare di matrice $A$. Se $n \leq m$, quale condizione deve verificare $A$ perché $f$ non sia iniettiva?
   $$\boxtimes \; \textrm{rango}(A)<n \qquad \square \; \textrm{rango}(A)=n \qquad \square \;\textrm{rango}(A)>n$$

6. Siano $f$, $g:\;R^n \rightarrow R^n$ due applicazioni lineari. Sia $S$ il sottoinsieme di $R^n$ in cui $f$ e $g$ coincidono.
   $$\boxtimes \; S\; \textrm{\\lq e un sottospazio di $R^n$}\qquad \squa... ...; S\; \textrm{non \\lq e un sottospazio di $R^n$} \qquad \square \; S = \emptyset$$

7. Per quali valori del parametro reale $k$ la matrice
   $$A= \left( \begin{matrix} 1 & k^2\\ 1 & 1 \end{matrix}\right)$$
   è diagonalizzabile?
   $$\boxtimes \; k \neq 0 \qquad \square \; k=0 \qquad \square \;\textrm{per ogni valore di}\;k$$

8. Sia $f$ un endomorfismo di uno spazio vettoriale, e siano $v_1$ e $v_2$ autovettori di $f$ relativi ad autovalori diversi. Il sottospazio generato da $v_1$ e $v_2$ ha dimensione:
   $$\boxtimes \; 2 \qquad \square \; 1 \qquad \square \; 0$$

9. Siano $\pi$ e $\pi'$ due piani incidenti e sia $r: \pi \cap \pi'$. Sia $\pi''$ un piano ortogonale a $\pi$ e $\pi'$. La retta $r$ è :
   $$\boxtimes \; \textrm{ortogonale a $\pi''$} \qquad \square \;\textrm{parallela a $\pi''$}\qquad \square \;\textrm{contenuta in $\pi''$}$$

10. Siano $\pi$ e $\pi'$ due piani ortogonali e sia $r: \pi \cap \pi'$. Sia $s$ una retta in $\pi$ ortogonale ad $r$ e sia $t$ una retta in $\pi'$ distinta da $r$. Le rette $s$ e $t$ sono:
    $$\boxtimes \; \textrm{ortogonali} \qquad \square \;\textrm{parallele }\qquad \square \;\textrm{complanari}$$

Esercizi.

1) Discutere e trovare le soluzioni del seguente sistema al variare del parametro reale $k$:

$$\begin{cases} -2x+ky +2z = 0 \\ -x+3y +kz = k \\ -3x +4y +3z = 1 \end{cases}$$

2)Sia $A$ la matrice

$$\left( \begin{matrix} -9&-15&-10\\ 2&4&2\\ 6&9&7 \end{matrix} \right ).$$

1. Determinare autovalori e autospazi di $A$.
2. Se possibile determinare una base di autovettori di $A$.

3) Sia $\pi$ il piano passante per i punti $A=(-4,0,0)$, $B=(0,1,-2)$ e $C=(-3,-2,1)$ e sia $r$ la retta ortogonale a $\pi$ passante per il punto $A$. Sia $s$ la retta per i punti $D=(1,2,0)$ ed $E=(1,0,0)$. Calcolare la distanza tra le rette $r$ e $s$.

4) Si consideri l'applicazione lineare $g:\; R^3 \rightarrow R^3$ definita da

$$g(x_1,x_2,x_3)=(x_2,x_1,x_2).$$

Se ne scriva la matrice rispetto alla base canonica di $R^3$. Si trovi una funzione $f:\;R^3 \rightarrow R^3$ lineare e non identicamente nulla tale che $f \circ g$ sia l'applicazione nulla.

Soluzione

Esercizio 1.
La matrice associata al sistema è la matrice:

$$(A \vert B)=\left( \begin{matrix} -3 & 4 & 3 & 1\\ -1& 3 & k &k\\ -2& k & 2 & 0 \end{matrix}\right)$$

Una possibile riduzione a gradino è

$$\left( \begin{matrix}-3 & 4 & 3 & 1\\ -1& 3 & k &k\\ -2& k & 2 & ... ...}-3 & 4 & 3 & 1\\ 1& -3 & -k &-k\\ 2& -k & -2 & 0 \end{matrix} \right) \leadsto$$

$$\left( \begin{matrix}-3 & 4 & 3 & 1\\ 0& -5 & 3-3k &1-3k\\ 0& 8-3... ... & 4 & 3 & 1\\ 0& 5 & 3k-3 &3k-1\\ 0& 8-3k & 0 & 2 \end{matrix} \right)\leadsto$$

$$\left( \begin{matrix}-3 & & 4 & 3 & 1\\ 0& & 5 & 3k-3 &3k-1\\ 0& &0 &(8-3k)(3k-3) & -9(k-1)(k-2) \end{matrix} \right)$$

Per $k=\frac{8}{3}$ non esistono soluzioni del sistema. Infatti la matrice associata al sistema diventa

$$\left( \begin{matrix} -3 & 4 & 3 & 1\\ 0& 5 & 5 &7\\ 0& 0 &0 & -10 \end{matrix}\right)$$

da cui si deduce facilmente che la matrice incompleta ha rango $2$ mentre la matrice completa ha rango $3$.
Per $k=1$ la matrice associata al sistema diventa

$$\left( \begin{matrix} -3 & 4 & 3 & 1\\ 0& 5 & 0 &2\\ 0& 0 &0 & 0 \end{matrix}\right).$$

La matrice completa e la matrice incompleta hanno entrambe rango $2$ pertanto il sistema ammette infinite soluzioni date da:

$$x =\frac{1}{5}+t$$

$$y =\frac{2}{5}$$

$$z =t \quad t \in R.$$

Se $k \neq 1,\frac{8}{3}$ la matrice completa e la matrice incompleta hanno entrambe rango $3$ pertanto esiste una e una sola soluzione del sistema.
La soluzione è

$$x = \frac{6-2k}{8-3k} \quad y= \frac{2}{8-3k} \quad z= - \frac{3k-6}{8-3k}$$

Esercizio 2.
Il polinomio caratteristico della matrice è :

$$p(\lambda)= - \lambda (\lambda-1)^2$$

dunque gli autovalori sono $\lambda_1=1$ con molteplicità algebrica $2$ e $\lambda_2=0$ con molteplicità algebrica $1$.
L'autospazio relativo all'autovalore $1$ è

$$V_1= \kker (A-I)$$

e risulta

$$V_1= \{ (x,y,z) \in R^3 \; \vert -10x-15y-10z=0 \}$$

Ne segue allora

$$V_2= \sppan \left \{ \left( \begin{matrix} 0 \\ 2 \\ -3 \end{... ...t), \quad \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{matrix}\right) \right \}$$

Pioché $\dimm(V_1)=2$ la matrice è diagonalizzabile.
L'autospazio relativo all'autovalore 0 è

$$V_{0}= \kker (A)$$

e si determina risolvendo il sistema

$$\begin{cases} -9x-15y-10z=0\\ 3y-z=0 \end{cases}$$

Risulta allora

$$V_0= \sppan \left \{ \left( \begin{matrix} -5 \\ 1 \\ 3 \end{matrix}\right) \right \}$$

Infine una base di autovettori di $A$ è data dall'insieme:

$$\mathcal{B}=\{ v_1=(-5,1,3),\; v_2=(0,2,-3),\; v_3=(1,0,-1) \}.$$

Esercizio 3.
Il piano $\pi$ ha equazione cartesiana:

$$\left \vert \begin{matrix} x+4& y& z\\ 4& 1& -2\\ 1& -2& 1 \end{matrix}\right \vert =0$$

cioè

$$\pi: x+2y+3z+4=0.$$

La retta $r$ ha come direzione il vettore, normale al piano $\pi$, $u=(1,2,3)$ e quindi ha equazioni parametriche:

$$r: \begin{cases} x=-4+t\\ y=2t\\ z=3t, \quad t \in R. \end{cases}$$

La retta $s$ ha equazioni parametriche:

$$s: \begin{cases} x=1\\ y=2l\\ z=0, \quad l \in R. \end{cases}$$

Il vettore che unisce un punto generico della retta $r$ con uno della retta $s$ ha coordinate:

$$\left( \begin{matrix} t-5\\ 2t-2l\\ 3t \end{matrix}\right).$$

Per determinare i punti delle due rette che realizzano la distanza, imponiamo che tale vettore sia ortogonale alle due rette. Si ha:

$$\begin{cases} (t-5,2t-2l,3t) \cdot \left( \begin{matrix} 0\\... ... \begin{matrix} 1\\ 2\\ 3 \end{matrix}\right)=0 \end{cases}$$

e quindi

$$\begin{cases} t= \frac{1}{2}\\ l= \frac{1}{2}. \end{cases}$$

Allora $d(r,s)=d(Q_r,Q_s)$, dove $Q_r$ e $Q_s$ sono i punti di $r$ e $s$ rispettivamente, che si ottengono sostituendo i valori trovati dei parametri nelle equazioni parametriche delle rette. Risulta:

$$Q_r=\left( \begin{matrix} - \frac{7}{2}\\ 1\\ \frac{3}{2} \en... ...ix}\right) \quad Q_s=\left( \begin{matrix} 1\\ 1\\ 0 \end{matrix}\right).$$

Quindi:

$$d(r,s)= \sqrt{ {\left (\frac{9}{2} \right)}^2 + {\left(\frac{3}{2} \right)}^2}= \frac{ \sqrt{90}}{2}= \frac{3}{2} \sqrt{10}.$$

Esercizio 4.
La matrice della applicazione $g$ rispetto alla base canonica è:

$$M(g)=\left( \begin{matrix} 0& 1 &0 \\ 1& 0 & 0 \\ 0& 1 & 0 \end{matrix}\right).$$

Una applicazione lineare $f: R^3 \rightarrow R^3$ è tale che $f \circ g=0$ se e solo se $\imm(g) \subset \kker(f)$.
Ora, poiché è chiaramente $\dimm \imm(g)=2$, una qualsiasi applicazione lineare $f$ tale che $\imm(g) = \kker(f)$ (e quindi non identicamente nulla) ha la proprietà cercata. Una base di $\imm(g)$ è data dal'insieme:

$$\{ (v_1=(0,1,0),\; v_2=(1,0,1) \}.$$

Si completa ad una base di $R^3$ aggiungendo il vettore $v_3=(1,0,0)$. Consideriamo allora l'applicazione $f$ definita da:

$$f(v_1) =(0,0,0)$$

$$f(v_2) =(0,0,0)$$

$$f(v_3) =v_3$$

Tale applicazione $f$ soddisfa la proprietà richiesta.
La sua matrice rispetto alla base canonica è: La matrice della applicazione $g$ rispetto alla base canonica è:

$$M(f)=\left( \begin{matrix} 0& 0 &-1 \\ 0& 0 & 0 \\ 0& 0 & 0 \end{matrix}\right).$$

Come si può facilmente verificare risulta

$$M(f) \cdot M(g)=0.$$

In alternativa si può procedere nel modo seguente. Osserviamo che

$$M(g) \cdot M(g)=\left( \begin{matrix} 1& 0 &0 \\ 0& 1 & 0 \\ 1& 0 & 0 \end{matrix}\right)$$

e $M(g)^3=M(g)$. Segue che $M(g) \cdot (M(g)^2-I)=0$. Poiché $M(g)^2 \neq I$, la matrice $M(g)^2-I$ soddisfa la proprietà cercata.