TITOLO. Equazioni alle derivate parziali evolutive non lineari: formulazione debole, esistenza, unicita', regolarita’, controllabilita’…

DESCRIZIONE DELL'ARGOMENTO. Un'equazione alle derivate parziali e' un'espressione che coinvolge una funzione di piu' variabili e le sue derivate parziali. Si dice "evolutiva" quando una delle variabili e' il tempo e le derivate rispetto a tale variabile compaiono nell'equazione in un modo diverso dalle altre (per esempio sono solo del primo ordine mentre le altre sono del secondo ordine). Si dice "non lineare" se nell'equazione ci sono dei termini non lineari, e quindi, per esempio, non e' vero (per il caso omogeneo) che la somma di due soluzioni sia ancora una soluzione.

Gli esempi piu' famosi di equazioni alle derivate parziali evolutive sono l'equazione del calore e l'equazione delle onde:

ut(x¸t)–Δu(x¸t)=0, utt(x,t)-Δu(x,t)=0

dove Δ sta per il Laplaciano, cioe’ la somma delle derivate seconde pure nella variabile spaziale xЄΩ, con Ω sottoinsieme di IRⁿ, e il pedice t significa una (o due) derivate nella variabile temporale t≥0.

Queste sono equazioni lineari e sono il prototipo delle equazioni paraboliche e delle equazioni iperboliche, rispettivamente. Cliccare qui (pagina di un seminario) per qualche parola sulle equazioni ellittiche. Un esempio di equazione parabolica non lineare e' per esempio il seguente:

α(u(x¸t))t−Δu(x¸t)=0¸

dove α e' una funzione qualunque (non necessariamente lineare); questa equazione si dice quasi lineare: invece della derivata temporale della funzione incognita u, c’e’ la derivata temporale di una sua “perturbazione” data dalla funzione non lineare α. Un esempio di equazione semilineare e' invece:

ut(x¸t)−Δu(x¸t)=β(u(x¸t))¸

dove β e’ una funzione (non necessariamente lineare): c’e’ un cosiddetto “termine sorgente” che dipende dalla funzione incognita u in modo non lineare tramite la funzione non lineare β.

Questo tipo di equazioni sorge in molti problemi fisici, ingegneristici ed applicativi in generale: la natura e’ nonlineare!

Tipicamente, le equazioni alle derivate parziali evolutive sono accoppiate con opportuni dati iniziali (cioe’ valori assegnati che la funzione incognita deve soddisfare all’istante t=0) e con opportuni dati al bordo (cioe’ valori assegnati che la funzione incognita deve soddisfare nei punti sul bordo xЄ∂Ω).

Le domande che ci si pongono di fronte ad un’equazione differenziale alle derivate parziali con dati iniziali e al bordo sono: esiste una soluzione dell’equazione che soddisfa ai dati? , se esiste e’ unica? In che modo la soluzione dipende dai dati? E’ possibile controllare tale soluzione, cioe’ fare in modo che essa abbia un comportamento desiderato? Per rispondere a queste domande spesso bisogna passare attraverso un concetto di “soluzione debole” che, in questo ambito, e’ quello di “soluzione nel senso delle distribuzioni” (o degli spazi di Sobolev). La tecnica tipicamente piu’ usata per le equazioni non lineari consiste nei tre stadi: approssimazione, stime a priori, passaggio al limite.

TIPO DI LAVORO RICHIESTO ED OBIETTIVI. Per tutte le lauree: leggere parti di alcuni testi
introduttivi all'argomento o ad alcuni aspetti di esso, comprenderli bene,
saperli rielaborare e raccontare esaurientemente. Per le lauree specialistica e magistrale, leggere e comprendere testi piu' avanzati e usare i risultati appresi per l'indagine di un problema relativamente nuovo rispetto allo stato attuale della ricerca sull'argomento.

REQUISITI. Calcolo differenziale ed integrale per funzioni di piu' variabili, teoria delle equazioni differenziali ordinarie, spazi di Sobolev e di Hilbert.