Soluzione analitica

L'equazione di un oscillatore armonico forzato e smorzato è:

$$\ddot{x}+\frac{1}{\tau}\dot{x}+\omega_0^2x = \frac{F_0}{m}(\cos\omega t)$$ (1)

dove tutti i parametri sono numeri reali. Il modo più conveniente per risolverla consiste nell'immaginare una eccitazione di tipo complesso $F_c = F_0 e^{-i\omega t}$ al posto dell'eccitazione effettiva $F = F_0\cos(\omega t)$. Osserviamo che essendo

$$F_c = F_0 e^{-i\omega t} = F_0\cos(\omega t) - iF_0\sin(\omega t)$$

l'eccitazione effettiva $F$ coincide con la parte reale di $F_c$. Poichè la soluzione dell'equazione differenziale (1) con la parte non omogenea sarà una funzione complessa, di essa noi considereremo solo la parte reale, cioè quella corrispondente all'eccitazione effettiva: $F = \ensuremath{\mathbf{Re}}\left( {F_c} \right)$. Dunque concentriamoci ora sull'equazione:

$$\ddot{x}+\frac{1}{\tau}\dot{x}+\omega_0^2x = \frac{F_0}{m}e^{-i\omega t}$$

È intuibile che per tempi grandi il sistema oscillerà con la stessa frequenza della forza di eccitazione (soluzione asintotica), mentre per tempi piccoli il moto è fortemente dipendente dalle condizioni iniziali e la soluzione asintotica viene sommata a contributi che decrescono esponenzialmente nel tempo (questa è la fase transiente, vedere la sezione 1.3). Cerchiamo dunque una soluzione della forma $x = x_0e^{-i\omega t}$, con $x_0$ un numero complesso qualsiasi. Sostituendo $x$ e le sue derivate nella precedente equazione troviamo che:

$$\left( -\omega^2 - \frac{i\omega}{\tau} + \omega_0^2 \right... ...0 = \frac{F_0/m}{(\omega_0^2-\omega^2) - i\frac{\omega}{\tau}}$$ (2)

Dunque $x_0$ ha sicuramente una parte immaginaria. Risulta conveniente esprimere $x_0$ in forma polare, $x_0 = A e^{i\varphi}$ (ora $A$ è un numero reale positivo). Allora la soluzione dell'equazione differenziale diventa la seguente (di cui a noi interessa, come spiegato precedentemente, solo la parte reale):

$$x = x_0 e^{-i\omega t} = A e^{-i(\omega t - \varphi)} \ens... ...th{\mathbf{Re}}\left( {x} \right) = A \cos(\omega t - \varphi)$$

Dobbiamo ora valutare l'ampiezza e la fase di questa oscillazione. Cominciamo con il calcolare $A$ a partire dall'equazione 2:

$$A = \sqrt{x_0 x_0^*} = \sqrt{ \frac{F_0/m}{(\omega_0^2-\... ...\frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2 + (\omega/\tau)^2}}$$ (3)

$\varphi$ è la fase del numero complesso $x_0$, quindi $\tan\varphi = \ensuremath{\mathbf{Im}}\left( {x_0} \right) / \ensuremath{\mathbf{Re}}\left( {x_0} \right)$:

$$x_0 = \frac{F_0/m}{(\omega_0^2-\omega^2) - i(\omega/\tau)} ... ...t \left[ (\omega_0^2-\omega^2) + i\frac{\omega}{\tau} \right]$$

e dunque:

$$\begin{array}{lll} \ensuremath{\mathbf{Re}}\left( {x_0} \r... ...ad\quad} \tan\varphi = \frac{\omega/\tau}{\omega_0^2-\omega^2}$$