Dimostrazione del teorema di Clausius per una macchina reale a due sole sorgenti

Secondo il teorema di Carnot, il rendimento hdi una macchina reale di rendimento, che lavora tra due sole sorgenti è inferiore al rendimento h_C di una macchina di Carnot che utilizza due sorgenti aventi le stesse temperature delle sorgenti della macchina reale.

h < h_C

Ricordiamo che, per definizione

dove q₁ e q₂ sono le quantità di calore scambiate dalle due sorgenti con la sostaza di lavoro (le lettere minuscole rappresentano i moduli delle quantità di calore) (Fig. 1). Inoltre, h_C = 1- T₂/T₁, dove T₁ e T₂ rappresentano le temperature delle sorgenti calda e fredda rispettivamente. Dalla relazione h < h_C si ha che:

Fig. 1

Dall'eq. 2 si ricava che:

Ricorriamo alle lettere maiuscole per esprimere la quantità di calore, comprensiva di segno, scambiata dalla  sostanza termodinamica. Poichè q₁ è il modulo della quantità di calore assorbita dalla sostanza termodinamica, si ha Q₁ = q₁ ; inoltre dato che q₂ è il modulo della quantità di calore ceduta  dalla sostanza termodinamica, si ha Q₂ = -q₂ . Sostituendo q₁ e q₂ nell'eq. 3, si ricava:

che equivale alla relazione:

come volevasi dimostrare. Lo stesso risultato vale per un frigorifero irreversibile operante fra due sorgenti.

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