Enunciato del Teorema di Clausius

Il teorema di Clausius stabilisce un legame tra le quantità di calore scambiate da un sistema durante un ciclo e le temperature delle sorgenti che scambiano tale calore. Esso afferma che:

dove, il simbolo dell' integrale ciclico indica che l'integrale è esteso all'intero ciclo descritto dalla macchina. L’uguaglianza è valida nel caso in cui la macchina è reversibile.

Dimostrazione

Per una comprensione piena dell'enunciato potrebbe essere utile, rivederlo per macchine costituite da un numero finito di sorgenti, cominciando dalla macchina di Carnot, che ha il merito di aver suggerito l'idea di base del teorema.

Per convenzione indicheremo con lettera minuscola il valore assoluto della quantità di calore, e con lettera maiuscola la quantità di calore comprensiva di segno; per esempio se una sorgente assorbe Q_i calorie, vuol dire che Q_i =  q_i = ½Q_i½, se invece cede Q_i calorie:  Q_i = - q_i = -½Q_i½.

Fig. 1    

Indicando con Q_i il calore che fluisce tra sorgenti e fluido di lavoro di una macchina di Carnot, per uno o più cicli completi, si ha che:

Dimostrazione

Indicando con Q_i il calore che fluisce tra sorgenti e sostanza termodinamica in una macchina reale che utilizza due sorgenti (Fig. 2), per un numero intero di cicli, si ha che:

Fig. 2 Macchina Irreversibile a due sorgenti

dove T_i   rappresenta la temperatura della sorgente che scambia la quantità di calore Q_i.

Dimostrazione

In una macchina che utilizza N sorgenti, indicando con Q_i il calore che fluisce tra sorgenti e fluido di lavoro in un numero intero di cicli, alla temperatura T_i delle sorgenti, si ha che:

Fig. 3

dove, l’uguaglianza è valida se la macchina è reversibile.

Dimostrazione

Si perviene all'enunciato generale espresso all'inizio, relativo ad infinite sorgenti, N ® ¥, (Fig. 4), indicando :

   Q_i ® dQ,     T_i  ® T

®

si ha allora:

     ®     

Fig. 4

Teorema di Clausius nel caso di infinite sorgenti