teorema di clausius

Teorema di Clausius

Sia S un sistema che compie una o più trasformazioni cicliche. Durante ogni ciclo, S riceve calore da un insieme di sorgenti alle temperature

T₁,…T_k,…T_m 1 £ k £ m

e ne cede ad un insieme di sorgenti alle temperature

T_m+1,…T_j,…T_n m+1 £ j £ n

Siano

q₁,…q_k,…q_m 1 £ k £ m

i moduli delle quantità di calore ricevute dal sistema, e

q_m+1,…q_j,…q_n m+1 £ j £ n

i moduli delle quantità di calore cedute dal sistema.

Fig. 1 Il sistema termodinamico S interagendo con un numero finito di n sorgenti compie una o più trasformazioni cicliche comportandosi da motore termico o da frigorifero.

Il teorema di Carnot sostiene che:

(1)

dove i, 1 £ i £ n, è un indice generale che sostituisce gli indici parziali k e j e conta tutte le quantità di calore Q_i, indipendentemente dal loro segno, che vengono scambiate dal sistema S con le n sorgenti. Q_iè intesa come quantità positiva se viene ricevuta dal sistema e negativa se ceduta dal sistema. In sintesi:

Q_k = q_k per 1 £ k £ m

Q_j = - q_jper m+1 £ j £ n

(2)

______________

Per dimostrare il teorema ricorriamo ad una sorgente addizionale ad una temperatura arbitraria T₀ (Fig. 2).

Fig. 2 Questa figura è equivalente alla Fig. 1, vi compare in più la sorgente ausiliaria T₀ , non ancora utilizzata, il cui uso è mostrato in Fig. 3.

Consideriamo quindi n macchine di Carnot che lavorino tra la sorgente a temperatura T₀ e le sorgenti a temperatura T_i, 1 £ i £ n; in particolare per 1 £ k £ m queste macchine sono dei frigoriferi e per m+1 £ j £ n dei motori termici (Fig. 3).

Fig. 3 Per sbarazzarsi delle sorgenti T_i le cui interazioni con il sistema S, in genere, sono irreversibili, si introducono le macchine termiche di Carnot C_i che , scambiano con le sorgenti T_i quantità di calore Q_i di segno opposto a quelle che esse scambiano con il sistema S.

Ciascuna macchina scambia con la sorgente i-esima una quantità di calore pari a quella che ciascuna sorgente T_i scambia con il sistema S. É per questo che per 1 £ k £ m occorrono dei frigoriferi che prelevino le quantità di calore q_0,k dal serbatoio T₀ per cedere le quantità q_k ai serbatoi a temperatura T_k a spese del lavoro L_Ck eseguito dall’esterno. Per m+1 £ j £ n occorrono invece dei motori termici che prelevino le quantità di calore q_j dalle sorgenti T_j per cederne le quantità q_0,j alla sorgente T₀ fornendo all’esterno il lavoro L_Cj. La ragione di introdurre la sorgente T₀ e le macchine di Carnot consiste nel volersi sbarazzare delle sorgenti T_i (Fig. 4) che, in genere, interagiscono irreversibilmente con il sistema S, per introdurre delle macchine di Carnot per le quali i rapporti fra i calori scambiati e le temperature a cui avvengono questi scambi sono noti:

1 £ i £ n

da cui

(3)

Fig. 4 Le sorgenti alle temperature T_i, grazie alle macchine di Carnot, tanto danno calore quantone ricevono, pertanto, dal punto di vista del bilancio energetico è come non ci fossero.

Consideriamo ora il ciclo composito S/C comprendente il sistema S ed i sistemi delle macchine termiche di Carnot C₁,…C_i,…C_n (Fig. 5).

Fig. 5 Il sistema S e le macchine termiche C₁,...C_i, C_n costituiscono un sistema composito S/C che compie trasformazioni cicliche interagendo con un’unica sorgente: quella ausiliaria a temperatura T₀ .

Nel ciclo S/C la sorgente T₀ scambia la quantità di calore (Fig. 5)

(4)

Utilizzando la relazione (3), la (4) diventa:

e, ponendo Q_k= q_k e Q_j= -q_j (relazioni (2) e (3)) la (4) si semplifica in:

(5)

Il calore Q₀ scambiato dal sistema composito S/C in un processo ciclico, per la prima legge della Termodinamica, si trasforma nel lavoro L_S/C (Fig. 5):

Q₀ = L_S/C

Fig. 5

É plausibile chiedersi se L_S/C ³ 0 oppure L_S/C £ 0 (Fig. 6).

Fig. 6 Il sistema composito S/C effettua il lavoro L_S/Ca spese del calore Q₀ scambiato con un’unica sorgente.

Fig. 7 Il sitema composito S/C non può compiere trasformazioni cicliche assorbendo calore da un’unica sorgente per trasformarlo integralmente in lavoro L_S/C>0 perché così facendo violerebbe l’enunciato di Kevin-Plank della II Legge della Termodinamica.

Se fosse L_S/C ³ 0, il calore Q₀ estratto dall’unica sorgente a temperatura T₀si trasformerebbe integralmente in lavoro L_S/C effettuato verso l’esterno. Questo risultato è in contraddizione con il postulato di Kelvin-Plank della II legge della Termodinamica. Dovrà perciò necessariamente aversi che:

L_S/C £ 0

e quindi Q₀ £ 0. Ne viene che

ed essendoT₀ > 0 K, si ha:

(1)

come volevasi dimostrare.

Nel caso in cui il ciclo compiuto da S sia reversibile esso potrà essere percorso in entrambi i sensi, per cui, in un senso si avrebbe che:

e, nel senso opposto:

Entrambi queste disuguaglianze possono essere verificate contemporaneamente solo se vale il segno di uguaglianza, cioè solo se Q₀ = 0, da cui si ricava che:

che equivale alla:

Tutto questo per sottolineare che l'uguaglianza nella (1) è verificata solo da trasformazioni

reversibili.

Teorema di Clausius nel caso di infinite sorgenti

Nel caso ill numero di sorgenti interagenti ciclicamente con il sistema sia infinitamente elevato il teorema di Clausius assume la forma:

(6)

che deriva direttamente dalla (1).

rappresenta le quantità di calore infinitesime scambiate fra una qualsiasi sorgente

alla generica temperatura T ed il sistema. L'integrale sostituisce la sommatoria presente nella (1); si tratta di un integrale di linea in quanto si riferisce alle trasformazioni cicliche subite dal sistema. L'uguaglianza nell'eq. 6 riguarda esclusivamente trasformazioni reversibili.

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