Velocità molecolari medie

La quantità $\frac{3}{2}\ensuremath{\ensuremath{k_{\scriptscriptstyle B}}\xspace T}\xspace$, che come abbiamo visto è pari all'energia cinetica media per molecola, ad una temperatura di $300$K vale circa $40$ meV. Questo ci permette di dare una stima della velocità media delle molecole del gas:

$$v_{rms} = \sqrt{\ensuremath{\left\langle v^2_{\scriptscript... ...riptstyle B}}\xspace T}\xspace }{mN_A}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$$

dove $M$ è la massa molecolare (la massa di una mole). Si noti che la ``velocità media'' è stata definita come la radice quadrata di ovvero $\sqrt{\ensuremath{\left\langle \vert\vec{v}\vert^2 \right\rangle}}$, e non come $\vert\ensuremath{\left\langle \vec{v} \right\rangle}\vert$, che è sempre nulla per l'ipotesi sull'isotropia del gas. Per l'ossigeno alla temperatura di $300$K, ricordando che $M = 32 \times 10^{-3}$Kg/mol, risulta:

$$v_{rms}(O_2) = \sqrt{ \frac {3\times (8,31\,\textrm{J/K}\c... ...3}\textrm{Kg/mol}}} = 483 \textrm{m/s} = 1738,8 \textrm{Km/h}$$

Ad una data temperatura i gas più leggeri hanno velocità più alte, poichè $v_{rms}$ dipende dall'inverso della radice di $M$. Per l'idrogeno ($H_2$), che è il gas più leggero di tutti, a temperatura $T=300$K abbiamo:

$$M_{H_2} = 2 \times 10^{-5}\textrm{Kg/mol} \ensuremath{\quad\quad \Rightarrow \quad\quad} v_{rms}(H_2) = 1930\textrm{m/s}$$

Queste velocità sono dello stesso ordine di grandezza delle velocità del suono in questi gas alla stessa temperatura:

$$v_s(H_2) = 1332\textrm{m/s} \ensuremath{\quad\quad \textrm... ..._2) = 333\textrm{m/s} \quad\quad\quad\quad T = 300\textrm{K}$$

Questo non è sorprendente, dal momento che la velocità con cui una perturbazione si trasmette attraverso un gas è strettamente legata alla velocità delle sue molecole.