La legge di distribuzione delle velocità di Maxwell

Abbiamo visto che il valore medio della velocità di una singola molecola, intesa come quantità vettoriale, è zero, per l'ipotesi di isotropia che abbiamo fatto sul gas perfetto. Naturalmente, il valore medio del modulo della velocità non può essere zero, perchè un modulo è una quantità sempre maggiore o uguale a zero. La probabilità che una certa molecola abbia un valore ben determinato per il modulo della velocità è stata calcolata da Maxwell, ed è riassunta nella seguente formula ($m$ è la massa molecolare e la costante di Boltzmann):

$$p(v) = N \sqrt{\frac{2m^3}{\pi \ensuremath{k_{\scriptscript... ...\quad \textrm{tale che} \quad\quad \int_0^{\infty} p(v)dv = N$$

A partire da questa formula possono essere definiti vari ``valori medi'' per la velocità, tutti dello stesso ordine di grandezza di $v_{rms}=\sqrt{3RT/M}$ di cui ci siamo già occupati. Per esempio $v_m$, la velocità più probabile, che si ottiene imponendo $dp(v)/dv=0$: $$v_m = \sqrt{\frac{2\ensuremath{\ensuremath{k_{\scriptscript... ...ace }{m}} = \sqrt{\frac{2RT}{M}} = \sqrt{\frac{2}{3}}v_{rms}$$ oppure la velocità media analitica, che è: $$\ensuremath{\left\langle v \right\rangle}= \int_0^{\infty} ... ...v = \frac{2}{\sqrt{\pi}} v_m = \sqrt{\frac{8}{3\pi}} v_{rms}$$ quindi $v_m < \ensuremath{\left\langle v \right\rangle}< v_{rms}$. Tutte queste misure di velocità sono quindi proporzionali, ed aumentano all'aumentare della temperatura.