Esercizi di dinamica del punto materiale

Esercizio 1
Tre blocchi di massa rispettivamente $m_1=5$Kg, $m_2=2$Kg e $m_3=3$Kg poggiano su un piano orizzontale e sono uniti da due funi (vedi figura). Sul blocco $1$ agisce una forza orizzontale pari a $F=35$N. Si determini l'accelerazione di ciascun blocco e la tensione delle due funi nel caso in cui:

a)
non vi sia attrito tra blocchi e piano
b)
l'attrito dinamico di ciascuno dei tre blocchi sia pari a $\mu_1=\mu_2=\mu_3=\mu=0.2$.
\includegraphics[width=.6\textwidth]{fig1.eps}
Soluzione

Esercizio 2
Allo specchietto retrovisore di una macchina è appeso un ciondolo di massa $m=25$g tramite un filo di lunghezza $l=15$cm. La macchina percorre un tratto di strada piano a velocità costante pari a $v_1=70$Km/h (fase 1), quindi rallenta con decelerazione costante per un tratto di $80$m (sempre in piano) fino alla velocità $v_2=45$Km/h (fase 2). Con la velocità costante $v_2$ la macchina percorre una curva (ancora in piano) con raggio di curvatura $50$m (fase 3). Al termine della curva la macchina imbocca una salita con inclinazione $\alpha=30^{\circ}$ rispetto all'orizzontale, lungo la quale accelera con accelerazione costante pari a $a=0.3g$ (fase 4). Si determini per ciascuna delle quattro fasi l'inclinazione del filo rispetto alla verticale, la direzione dell'inclinazione (concorde, opposta o perpendicolare al moto della macchina) e la tensione del filo.

Soluzione

Esercizio 3
Un bambino gioca con una pallina su una pista collocata sopra un tavolo ad altezza $H=1.2$m rispetto al pavimento (vedi figura). Il bimbo vuole colpire con la pallina un bersaglio sul pavimento a distanza $D=60$cm dal piede del tavolo. La pista è inclinata di $\alpha=25^{\circ}$ rispetto al piano orizzontale del tavolo e tra la fine della pista e il bordo del tavolo c'è una distanza $d=20$cm.

a)
Quale deve essere la velocità con cui la pallina arriva al bordo del tavolo?
b)
Se il bimbo lascia partire da ferma la pallina, da quale altezza $h$ rispetto al tavolo deve lasciarla andare? Si supponga che
$b_1$)
non vi siano attriti
$b_2$)
lungo il tratto orizzontale sul tavolo vi sia un attrito con coefficiente $\mu=0.25$.

(Si assuma che nel punto di cambio di pendenza tra pista e tavolo la velocità lineare della pallina non cambi in modulo).

\includegraphics[width=.4\textwidth]{fig2.eps}
Soluzione

Esercizio 4
Un blocco di massa $m$ è appoggiato su un piano inclinato con angolo di inclinazione $\alpha$ rispetto all'orizzontale. Il coefficiente di attrito tra blocco e piano inclinato sia $\mu$. Il piano inclinato trasla su un piano orizzontale nella direzione di discesa del piano inclinato. Si determini il valore minimo di $\mu$ per il quale il blocco rimane fermo rispetto al piano inclinato e il valore della reazione vincolare normale al piano inclinato nel caso in cui
a) il piano inclinato trasla con velocità costante $v_t$
b) il piano inclinato accelera nella direzione del moto con accelerazione $a_t$.

Soluzione

Esercizio 5
Su un piano inclinato con angolo di inclinazione $\alpha=30^\circ$ rispetto all'orizzontale sono posti due blocchi a forma di cubo di massa $m_1=5$kg e $m_2=3$kg. Il blocco di massa $m_1$ si trovi più in basso rispetto all'altro lungo il piano inclinato. Il coefficiente di attrito tra blocchi e piano inclinato sia $\mu_{blocco}=0.2$. I due blocchi sono collegati da una fune inestensibile e di massa trascurabile. Sulla superficie superiore del blocco di massa $m_2$ (quello più in alto) è appoggiato un corpo di massa $m_{corpo}=0.5$kg a distanza $d=20$cm dai bordi del blocco. Il coefficiente di attrito tra il corpo e la superficie superiore del blocco di massa $m_2$ sia $\mu_{corpo}=0.1$. All'istante $t=0$ entrambi i blocchi e il corpo sono in quiete con la fune in tensione. Si determini
a) l'accelerazione del corpo
b) l'accelerazione di ciascuno dei due blocchi e la tensione della fune
c) dopo quanto tempo il corpo raggiungerà il bordo del blocco e da quale parte cadrà.

Soluzione

Esercizio 6
Un'asta è incernierata a un suo estremo ad un asse verticale che ruota con velocità angolare costante $\omega$. Sull'asta è infilata una pallina che può scorrere lungo l'asta con coefficiente di attrito $\mu$. Si determini in funzione di $\omega$ e dell'angolo di inclinazione $\alpha$ l'intervallo di valori di $r$ per cui la pallina rimane in equilibrio.

\includegraphics{esercizio2.eps}
Soluzione
 

Esercizio 7
Due blocchi di massa $m_1=3$kg e $m_2=5$kg sono uniti da una fune inestensibile e di massa trascurabile che passa attraverso una carrucola anch'essa di massa trascurabile. Ciascuno dei due blocchi poggia su un piano inclinato come rappresentato in figura. Si trascuri l'attrito tra blocchi e piani inclinati e si calcoli

a1)
l'accelerazione del sistema
a2)
la tensione della fune

Si suppongano i due blocchi inizialmente in quiete a una quota comune $h=1.5$m rispetto al piano orizzontale.

a3)
Dopo quanto tempo uno dei due blocchi raggiunge il piano orizzontale? che quota ha raggiunto in questo istante l'altro blocco?
b)
Si ripetano i calcoli di cui al punto a1), a2), a3) assumendo un coefficiente di attrito tra blocchi e piani inclinati pari a $\mu=0.01$.
c)
Qualè il valore massimo di $\mu$ che consente al sistema dei due blocchi di mettersi in moto?
\includegraphics{esercizio3.eps}
 
Soluzione
 

Esercizio 8
Un pendolo è composto da un filo inestensibile di massa trascurabile e di lunghezza $L=50$cm e da un corpo di massa $m=0.5$kg. Il pendolo viene spostato dalla posizione di equilibrio fino a formare un angolo $\alpha=30^\circ$ rispetto alla verticale. Si determini:

a)
quale deve essere la velocità minima iniziale del pendolo affinché possa eseguire un giro completo attorno al perno rimanendo in tensione?
b)
quanto vale la velocità del pendolo nel punto più basso della traiettoria ( $\alpha=0^\circ$), nel punto più alto ( $\alpha=180^\circ$) e nel punto corrispondente all'angolo $\alpha=45^\circ$?
c)
quanto vale la tensione del filo nei tre punti della traiettoria considerati in b) ?

Soluzione

Esercizio 9
Due blocchi $A$ e $B$ di massa rispettivamente $m_A=5$kg e $m_B=2$kg poggiano su un piano orizzontale e sono uniti da una fune. Al centro della superficie superiore piana del blocco $B$ a distanza $d=10$cm dai bordi è collocata una biglia di ferro di massa $m=0.05$kg. Sul blocco $A$ agisce una forza orizzontale di intesità $F=60$N che trascina i due blocchi. Si assuma il sistema inizialmente in quiete e la fune tra i blocchi $A$ e $B$ già in tensione. In assenza di attrito tra blocchi e piano e tra biglia e superficie superiore del blocco $B$ si calcoli:

a1)
l'accelerazione dei blocchi $A$ e $B$,
a2)
la tensione della fune,
a3)
dopo quanto tempo la biglia cadrà dal bordo del blocco $B$.
B)
Si ripetano i calcoli nel caso in cui tra blocchi e piano e tra biglia e superficie superiore del blocco $B$ vi sia un attrito con coefficiente $\mu=0.2$.

Soluzione

Esercizio 10
Un'autovettura percorre una curva di raggio $R=50$m. Sia $\mu=0.7$ il coefficiente di attrito tra pneumatici e asfalto.

a)
Si calcoli la velocità massima con cui l'auto può percorrere la curva piana senza sbandare.
b)
Si supponga che la curva sia sopraelevata, ovvero giaccia su un piano inclinato con inclinazione $\alpha=10^\circ$ rispetto all'orizzontale, qual'è in questo caso la velocità massima con cui l'auto può percorrere la curva senza sbandare?

Soluzione

Esercizio 11
Un camion viaggia alla velocità di $75$km/h. Sul cassone del camion è collocata una cassa di massa $m=150$kg. Il coefficiente di attrito tra cassa e pianale del cassone sia $\mu=0.6$.

a)
Si calcoli il minimo spazio di arresto del camion affinchè la cassa rimanga ferma sul pianale.
b1)
Si ripeta il calcolo di cui al punto a) nel caso in cui il camion percorre una strada in discesa con inclinazione rispetto all'orizzontale $\alpha=15^\circ$,
b2)
e nel caso in cui il camion percorre una strada in salita con la stessa inclinazione.

Soluzione

Esercizio 12
Su un lago gelato, una ragazza di massa $m_1=55$kg con i pattini da ghiaccio tira con una forza costante una corda che è legata a una slitta di massa $m_2=42$kg. Inizialmente la slitta si trova a $25$m dalla ragazza ed entrambe sono in quiete. Trascurando l'attrito si calcoli la distanza percorsa dalla ragazza quando viene in contatto con la slitta.

Soluzione

Esercizio 13

Una persona si trova su una giostra che ruota con velocità angolare w costante assegnata. La persona cammina tangenzialmente sul bordo della giostra (di raggio R) con velocità v’ assegnata, misurata rispetto la giostra e nel suo stesso verso di rotazione. Dimostrare l’esistenza e l’essenzialità del termine di accelerazione complementare (diCoriolis) confrontando le accelerazioni misurate nei sistemi di riferimento “fisso” e solidale con la giostra.

Soluzione

Esercizio 14

 Due biglie differenti (masse m ed M) procedono con velocità v e V secondo moti rettilinei uniformi e mutuamente perpendicolari. Le biglie collidono e si osserva che, dopo l’urto, la

biglia di massa m procede nella stessa direzione e verso d’incidenza ma con velocità in modulo v’<v. Ottenere il vettore velocità della biglia di massa M dopo la collisione.

Soluzione

Esercizio 15

Allo scopo di stimare la costante di attrito viscoso in un mezzo, si ipotizza che l’attrito segua una legge del tipo F = - k v e si utilizzano due tubi disposti orizzontalmente e di differenti lunghezze nei quali viene lanciato il medesimo oggetto con la stessa velocità iniziale. Si osserva che all’uscita dai due tubi gli oggetti hanno differenti velocità. In particolare, la differenza di velocità osservate sta in rapporto fisso con la differenza di lunghezza dei due tubi. Si dimostri che con questi due dati (differenza di velocità d’uscita, Dv, e differenza di lunghezza dei due tubi, Dx) è possibile ottenere (entro la risoluzione sperimentale e nell’ambito di applicabilità del modello di attrito viscoso qui adattato) la costante di attrito viscoso stessa. Si espliciti il calcolo nel caso numerico Dv = 0.2 m / sec e Dx = 5 cm per una massa di 1 Kg.

Soluzione

Esercizio n.16

Esercizio

Un ragazzo di massa m1 = 50 Kg corre su di una banchina a velocitµa costante v0 = 3 m/s. All'estremitµa della banchina µe fermo un carrello di massa m2 = 100 Kg. Il ragazzo salta su di esso e dopo un breve scivolamento si ferma rispetto al carrello. Supponendo trascurabile l'attritio tra il carrello ed il terreno, si determini:

a) La velocitµa ¯nale assunta dal carrello vf
b) La forza di attrito agente sul ragazzo durante lo scivolamento sul carrello. Il coefficiente di attrito fra le scarpe del ragazzo e la superficie del carrello sia m = 0.40

c) La forza forza di attrito esercitata sul carrello

d) La durata della forza d'attrito sul ragazzo e sul carrello

e) Di quanto si sposta il ragazzo rispetto al terreno nel momento in cui smette di scivolare sul carrello

f) Quale è il corrispondente spostamento del carrello.

Soluzione

Problema 16

 Una pallina puntiforme di, massa m, legata ad un filo inestensibile, poggia sul piano di un carrello che si muove di accelerazione costante nota a (vedi figura).  

 a)       determinare la tensione del del filo. Scrivere le equazioni del moto in direzione orizzontale per l’osservatore O del sistema 
           inerziale solidale al  terreno, e per  l’osservatore O’ nel sistema  non inerziale solidale al carrello.

 b)       In un dato istante t0 il filo si rompe istantaneamente. Si supponga nullo l’attrito tra piano e pallina.
           Quali sono le equazioni del moto, in direzione orizzontale, della pallina per i due osservatori O ed O’? In altre parole, di che moto si muove 
           la pallina rispetto ai due osservatori O ed O’ dopo che il filo è rotto?

 c)       Quale è la velocità vettoriale della pallina rispetto all’osservatore O’ e quale rispetto all’osservatore O? 
           Si indichi con vC0 la velocità del carrello, rispetto all’osservatore O, all'istante di rottura del filo.

d)       Dopo quanto tempo dalla rottura del filo la pallina raggiunge l’estremità del carrello, a distanza d rispetto alla pallina 
            al momento della rottura del filo? Eseguire il calcolo sia da osservatori O' nel sistema non inerziale che da osservatori O
            nel sistema inerziale.

Soluzione

Esercizio a

Un corpo di massa m=5 Kg e dimensioni trascurabili, fissato all’estremità di un’asta rigida di lunghezza R=1 m e massa trascurabile, viene fatto ruotare su un piano verticale con velocità angolare costante w=5 rad/s. Determinare la reazione vincolare radiale dell’asta quando il corpo è:
a)      nel punto più alto della traiettoria;
b)      nel punto più basso della traiettoria;
c)      nel punto intermedio della traiettoria;
Si risolva il problema da osservatore inerziale e da osservatore solidale con la massa rotante.

 Risultati: a) T=76 N   b) T=174 N   c) T=125 N

Esercizio b
Una pietra di massa m=3 Kg e di dimensioni trascurabili è posta sulla sommità di una superficie emisferica liscia di raggio R=10 m. La pietra è fatta scivolare con una una velocità iniziale di modulo v0=5 m/s.
Si determini:
a)      la coordinata angolare f del punto in cui la pietra si stacca dalla superficie;
b)      il valore minimo di v0 affinché la pietra si stacchi dalla superficie all’istante iniziale.

 Risultati: a) f =41.3°   b) v0=10 m/s

Esercizio c
Una pietra di massa m=0.5 Kg, inizialmente in quiete, viene lasciata cadere al suolo da un’altezza h. La pietra penetra nel terreno per una profondità d=0.5 m; la resistenza del terreno è riassumibile in una forza media F= 30 N. Si determino:
a)      la velocità v della pietra nell’istante in cui urta il suolo;
b)      l’altezza h da cui viene fatta cadere.

Risultati: a) v=7.08 m/s  b) h=2.56 m

Esercizio d
Un blocco di 3 Kg è tenuto contro una molla di costante elastica k=25 N/cm, comprimendo la molla di 3 cm dalla sua posizione rilassata. Quando il blocco è rilasciato, la molla spinge il blocco verso l’alto lungo un piano inclinato di 20° avente un coefficiente di attrito m=0.1.
Determinare:
a)      il lavoro fatto dalla molla;
b)      il lavoro fatto dalla forza di attrito mentre il blocco si muove di 3 cm;
c)      la velocità del blocco quando la molla raggiunge la posizione di equilibrio;
d)      lo spazio percorso dal blocco sul piano inclinato;
e)      nel caso in cui il blocco sia attaccato alla molla, quanto sarà estesa la molla prima che il blocco si fermi?

Risultati: a) L=1.13 J   b) L=-0.083 J   c) v=0.7 m/s  d) s=8.8 cm   e) x=2 cm

Esercizio e
Un corpo di massa m, inizialmente fermo ad una altezza h = 4.9 m, scivola senza attrito lungo un piano inclinato di 60°. Giunto in fondo al piano inclinato incontra la superficie scabra del pavimento che ha un coefficiente di attrito dinamico m = 0.5.
Determinare:
a)      lo spazio percorso dal corpo sulla superficie scabra;
b)      il tempo totale in cui il corpo è in moto.

Risultati: a) 9.8 m; b) 3.1 s

Esercizio f
Una pallina di massa m risale un piano inclinato di 45° che ha un coefficiente di attrito dinamico m = 0.3. La velocità iniziale v0 della pallina è 20 m/s.
Determinare:
a)      il tempo impiegato ad arrivare all’altezza massima (tempo di salita);
b)      lo spazio percorso sul piano inclinato;
c)      il tempo di discesa;
d)      la velocità con cui ritorna al punto di partenza dopo essere ridiscesa dal piano inclinato.

Risultati: a) 2.2 s; b) 22.4 m; c) 3 s; d) 14.4 m/s

Esercizio g
Un pendolo è costituito da una sfera di massa m fissata ad un’asta rigida di lunghezza L e massa trascurabile. Determinare a quale sforzo massimo T l’asta deve resistere, considerando ampiezze angolari di oscillazione di 60°, 90°, 120° e 180°.

 Risultati:  T=2mg, 3mg, 4mg e 5mg

Esercizio h
 Un corpo di massa m, inizialmente fermo ad una altezza h, scivola senza attrito lungo un piano inclinato. Sia q l’inclinazione del piano rispetto all’orizzontale. Giunto in fondo al piano inclinato il corpo incontra la superficie scabra del pavimento che ha coefficiente di attrito dinamico m d=0.4.
Determinare:
a) lo spazio percorso dal corpo sulla superficie scabra.
b) il tempo totale in cui il corpo è in moto.