Geometria 1

Primo appello, sessione invernale, a.a. 1998/99

9 febbraio 2000

Si ricorda che, anche se non esplicitamente richiesto nei testi, tutte le risposte alle domande devono essere adeguatamente motivate con dimostrazioni o confutazioni.

Esercizio 1    Siano dati in $\mathbb R^2$ le rette:

$$\begin{array}{rclcrclcrcl} L_1 & = & \{ x + y = 2 \} &\quad&... ... - x = 3 \} &\quad& N_3 & = & \{ 4y + x + 3 = 0\} \end{array}$$

Dire se esiste

1.

un'affinità $\varphi$ di $\mathbb R^2$ tale che $\varphi(L_i)=M_i$ per ogni i;

2.

un'affinità $\varphi$ di $\mathbb R^2$ tale che $\varphi(L_i)=N_i$ per ogni i.

In caso di risposta affermativa la si determini e se ne discuta l'unicità.
Soluzione

Esercizio 2    Siano r e s le rette in $\mathbb R^3$ definite da:

$$r:=\left\{ \begin{array}{l} x + z = 2 \\ 2 y - z = 1 \en... ...y} \right. \qquad s:=\{(1,1,-1)+t(1,2,1)\mid t\in\mathbb R\}$$

e P=(1,2,1). Dire se esiste:

1.

una retta passate per P e parallela a r e s;

2.

una retta passante per P ed incidente a r e s.

In caso di risposta affermativa la si determini e se ne discuta l'unicità.
Soluzione

Esercizio 3    Siano dati i quattro punti

$$P_1=(0,0)\qquad P_2=(3,2) \qquad P_3=(0,2) \qquad P_4=(1,0).$$

Si determini il fascio delle coniche per P₁,P₂,P₃ e P₄. Tra le coniche di tale fascio si determini quella passante per il punto P₅=(1,1) e se ne studi il tipo affine.
Soluzione

Esercizio 4    Nello spazio vettoriale reale V dei polinomi di grado minore o uguale a 2 si consideri il prodotto scalare definito da:

$$\langle P,Q\rangle=2 P(1)Q(1)+P(0)Q(0)-2 P(-1)Q(-1)$$

Se ne determinino la segnatura ed una base ortogonale.
Soluzione

Esercizio 5    Sia V uno spazio vettoriale reale di dimensione finita, $v_1,\dots,v_k\in V$ e sia $\langle ,\rangle$ il prodotto scalare su V^* (il duale di V) definito da

$$\langle f,g\rangle=\sum_{i=1}^k f(v_i)g(v_i).$$

Si provi che

1.

$\langle ,\rangle$ è semidefinito positivo:

2.

$\langle f,g\rangle=0$ per ogni $g\in V^*$ se e solo se $\ker f \supseteq\left\langle {}v_1,\dots,v_k\right\rangle$:

3.

$\langle ,\rangle$ è definito positivo se e solo se $\{v_1,\dots,v_k\}$ è un sistema di generatori di V.

Soluzione