Franco Dalfovo

Sintesi delle lezioni, 2005-06

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7 novembre 2005

Corrente elettrica
Abbiamo parlato di cariche in movimento entro conduttori di vario tipo. Per ciascun caso si possono individuare dei portatori di carica, definendo la loro densità di carica e la loro velocità (di deriva). Immaginiamo una superficie infinitesima in un punto dello spazio generico. Se questa superficie è ortogonale alla velocità dei portatori, la carica che passa attraverso di essa nell'unità di tempo è il prodotto della densità di carica dei portatori (rho), della loro velocità di deriva e dell'area della superficie. Dividendo per l'area si ottiene la quantità di carica che passa nell'unità di tempo attraverso una superficie di area unitaria ortogonale alla velocità: questa è la definizione di densità di corrente elettrica (j= rho v). Per una superficie orientata ad un angolo theta rispetto alla velocità la carica che passa è il prodotto scalare di j con il vettore che individua l'elemento di superficie considerato (da, di modulo pari all'area e versore perpendicolare alla superficie). Il prodotto jda è un flusso elementare di carica. Se abbiamo una superficie finita S, l'integrale su S dei flussi elementari fornisce la corrente elettrica I, cioè la carica che passa attraverso S nell'unità di tempo. La corrente (o intensità di corrente) si misura in ampère (A), 1 A essendo pari a 1 C/s.

Conservazione della carica e equazione di continuità
La carica elettrica si conserva. Se si considera un volume generico che contiene una carica complessiva Q, il flusso totale di carica attraverso le sue superfici deve corrispondere ad una variazione di Q nel tempo. Più precisamente, il flusso, definito come l'integrale di jda, deve essere uguale a meno la derivata rispetto al tempo di Q. Si può esprime Q come integrale sul volume della densità di carica rho. Si può usare il teorema di Gauss per esprime il flusso di j come integrale sul volume della divergenza di j. La conservazione della carica porta così all'equazione di continuità: la somma della derivata rispetto a t della densità di carica e della divergenza di j si annulla ovunque. L'equazione è formalmente identica a quella per un fluido, dove si conserva il numero totale di particelle.

Correnti stazionarie
Se la densità di carica non dipende dal tempo, l'equazione di continuità dice che la divergenza di j è nulla ovunque. In questo caso si parla di correnti stazionarie. Abbiamo visto che, per correnti stazionarie, l'intensità di corrente I è la stessa se misurata attraverso una sezione S qualsiasi di un conduttore a sezione variabile.

Velocità "microscopica" e velocità di deriva
La velocità che entra nella definizione della densità di corrente è la velocità di deriva (media) dei portatori, che può essere anche molto diversa dalla velocità media di ogni singolo portatore. Abbiamo fatto una stima della velocità media dei singoli elettroni di conduzione in un metallo, usando un modello a gas classico a temperatura ambiente e il principio di equipartizione. La velocità risulta essere maggiore di 10^5 m/s. Una stima basata su modelli quantistici darebbe circa 10^6 m/s, come ordine di grandezza. Abbiamo anche stimato la velocità di deriva degli stessi elettroni in un filo di rame di raggio 1 mm, percorso da una corrente di 5 A. Usando la massa atomica e il peso specifico del rame, si arriva ad una stima della velocità di deriva dell'ordine di 10^(-4) m/s, 10 ordini di grandezza più piccola della velocità termica del singolo portatore. L'agitazione termica tuttavia non produce alcuno spostamento globale delle cariche.

Resistenza
Se applichiamo una differenza di potenziale ai capi di un conduttore ideale, le cariche libere si sposteranno per annullare il campo elettrico all'interno e produrre una superficie complessivamente equipotenziale. Nelle situazioni tipiche reali, tuttavia i portatori di carica subiscono una "resistenza" da parte del mezzo in cui sono immersi. L'effetto può essere quello di instaurare una corrente stazionaria I direttamente proporzionale alla differenza di potenziale, che possiamo indicare con V. Se il rapporto tra V e I dipende dal tipo di conduttore e dalla sua geometria, ma non dipende da V e I, allora si dice che il conduttore è ohmico e il rapporto V/I è detto resistenza (R). La legge R=V/I è nota come legge di Ohm e, così formulata, altro non è che una definizione di materiali ohmici. Il suo contenuto empirico (e la sua utilità) sta nel fatto i materiali ohmici rappresentano una classe molto vasta di materiali. La resistenza R si misura in ohm (Omega), 1 ohm essendo pari a 1 Volt/A. Per un conduttore omogeneo cilindrico di lunghezza L e sezione S, la resistenza R risulta essere proporzionale al rapporto L/S. Il coefficiente d proporzionalità è detto resistività. La resistività può variare di ordini di grandezza nel passare da materiali buoni conduttori a materiali isolanti, passando per i semiconduttori.

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9 novembre 2005

Legge di Ohm in forma locale
Considerando un volumetto cilindrico infinitesimo, di lunghezza dL e sezione dS, orientato nella direzione del vettore di densità di corrente locale in un materiale ohmico percorso da una corrente stazionaria, abbiamo mostrato che la densità di corrente è proporzionale al campo elettrico che induce il moto delle cariche. Il coefficiente di proporzionalità è detto conducibilità elettrica e risulta essere l'inverso della resistività. La relazione lineare tra densità di corrente e campo elettrico corrisponde alla legge di Ohm in forma locale.

Modello classico per la conduzione nei metalli
Premesso che la predizione quantitativa della conducibilità di un materiale ohmico richiede una descrizione quantistica della struttura della materia, abbiamo visto un modellino classico semplice che comunque fornisce una pittura fisica ragionevole. Abbiamo immaginato i portatori di carica in un metallo come un gas di particelle cariche classiche che compiono un moto disordinato, subendo ripetuti urti su centri diffusori (da precisare, a seconda dei casi specifici) e subendo l'accelerazione indotta dal campo esterno elettrico tra un urto e l'altro. In aula, abbiamo mostrato un giocattolo che si comporta in modo simile: un diavoletto di legno appeso tramite una molla ad un anello di legno, che scorre lungo un paletto verticale. Il movimento oscillatorio indotto dalla molla produce una sequenza periodica di cadute libere lungo il palo, separate da "urti" periodici tra anello e palo (l'anello si inclina bloccando lo scorrimento). Una serie di cadute libere interrotte produce un moto uniforme. Abbiamo calcolato la velocità di caduta. Abbiamo visto come la dinamica del giocattolo si generalizza ad un insieme di molti giocattoli simili, con molle uguali o diverse. Abbiamo mostrato che la velocità media di un insieme di diavoletti è data dal prodotto dell'accelerazione, costante, per un tempo "tau". Applicando la stessa idea al moto di deriva degli elettroni di conduzione in un metallo si arriva a dare una stima della conducibilità. Si tratta di una versione classica di un modello noto come modello di Drude per la conducibilità nei metalli. Nel modello si ipotizza che gli elettroni subiscano urti con impurezze e difetti del reticolo e che ad ogni urto si perda memoria della velocità acquisita a causa del campo elettrico esterno. Abbiamo fatto alcune considerazioni sulla struttura interna del metallo sulla base del legame tra conducibilità e libero cammino medio.

La resistenza come elemento di circuiti elettrici
Materiali ohmici possono essere inseriti come elementi resistivi in circuiti elettrici. Abbiamo visto con quali simboli si indicano i generatori di differenza di potenziale e le resistenze (o resistori). Abbiamo calcolato la resistenza equivalente nel caso di più resistenze collegate in serie o in parallelo.

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10 novembre 2005

Effetto Joule
Abbiamo calcolato la potenza dissipata in un resistore percorso da corrente (effetto Joule), assumendo che il lavoro fatto dal generatore (il dispositivo che mantiene la corrente stazionaria nel circuito) compensi esattamente la variazione di energia potenziale delle cariche che fluiscono nel resistore. Questa variazione di energia, nell'unità di tempo, è pari al prodotto dell'intensità di corrente e della differenza di potenziale ai capi del resistore. Utilizzando la legge di Ohm, ne risulta che la potenza dissipata è RI2. Abbiamo discusso alcune applicazioni di questo effetto.

Esercizi
Abbiamo fatto un calcolo di correnti che fluiscono in un circuito, utilizzando le leggi di Kirchhoff per le maglie e i nodi. Abbiamo calcolato l'evoluzione nel tempo della corrente in un circuito in cui si effettua la carica/scarica di un condensatore (nell'ipotesi che la corrente sia lentamente variabile).

Forze magnetiche
Abbiamo brevemente discusso la storia e la fenomenologia del magnetismo: esistenza di forze non elettriche in certe sostanze; magnetite, calamite, poli magnetici, assenza di monopoli magnetici, ecc.

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14 novembre 2005

Campo magnetico
Studiando il comportamento dei poli magnetici delle calamite, la disposizione della limatura di ferro su una superficie in presenza di una calamita, l'orientazione di un ago magnetizzato (bussola), e fenomeni simili, si arriva ad ipotizzare l'esistenza di un campo magnetico. Per dare una definizione operativa del campo, tuttavia, le calamite non bastano, dato che per stabilire una relazione quantitativa tra proprietà intrinseche delle calamite e campo magnetico prodotto da queste sarebbero necessari modelli accurati della struttura della materia. L'ostacolo si supera andando a vedere qual'è la relazione tra campi magnetici e cariche elettriche in moto. I primi esperimenti cruciali in questa direzione sono gli esperimenti di Oersted (ago magnetico che si orienta in vicinanza di fili percorsi da corrente elettrica) e di Ampère (forze di attrazione e repulsione tra fili percorsi da corrente). Questi esperimenti mostrano che cariche in moto producono campi magnetici e risentono di campi magnetici.

Forza di Lorentz
A partire dagli esperimenti si può definire operativamente il campo magnetico tramite la forza subita da una carica elettrica q in moto a velocità v. In assenza di campi elettrici la forza può essere scritta come qv X B. In presenza anche di un campo elettrico, invece, la forza sulla carica è F= q( E + v X B). Questa è nota come forza di Lorentz.

Unità di misura
Per come è definito, il campo magnetico è dimensionalmente equivalente a una forza divisa per una carica e una velocità. Usando per queste quantità le unità del sistema internazionale SI si ottiene una nuova unità chiamata tesla (T). Nello stesso sistema internazionale si può esprimere il flusso di campo magnetico in weber (Wb) e il campo in Wb/m2, che è uguale al tesla. Abbiamo visto anche come si scrive la forza di Lorentz nel sistema di Gauss dove l'unità di misura si chiama proprio gauss (G). Abbiamo anche visto che un tesla equivale a 10000 gauss.

Il campo prodotto da un filo rettilineo
Abbiamo parlato della misura di Biot e Savart del campo magnetico prodotto da un filo rettilineo percorso da corrente. Le linee di forza del campo sono cerchi concentrici, nel piano ortogonale al filo. L'intensità del campo è proporzionale alla corrente che passa e inversamente proporzionale alla distanza. La legge di Biot-Savart gioca in magnetostatica un ruolo simile a quello giocato dalla legge di Coulomb in elettrostatica. In quel caso avevamo visto che si poteva formulare il problema in modo equivalente con la legge di Gauss per il flusso del campo elettrico, essendo peraltro applicabile anche il principio di sovrapposizione. Nel caso del campo magnetico conviene considerare invece la circuitazione del campo lungo un percorso chiuso. Nel caso di un filo rettilineo, a partire dalla legge di Biot-Savart, si può dimostrare che la circuitazione di B è il prodotto tra una costante mu_0, detta permeabilità magnetica del vuoto, e la corrente che scorre nel filo, qualora il percorso scelto compia un giro completo attorno al filo; se il percorso non racchiude (non è "concatenato" al filo) la circuitazione è nulla. Questo risultato non dipende dalla forma del percorso scelto. Più in generale, la regola vale anche per fili di corrente non rettilinei e per più fili (principio di sovrapposizione). La circuitazione di B lungo un percorso chiuso qualunque è uguale alla mu_0 volte la somma delle correnti concatenate al percorso. Questa è nota come legge di Ampère.

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16 novembre 2005

Legge di Ampère in forma locale
In magnetostatica la legge di Ampè ha un ruolo analogo a quello della legge di Gauss in elettrostatica. Come in quel caso era possibile scrivere la legge di Gauss in forma locale, anche qui si può trovare la versione locale della legge di Ampère. Basta ricorrere alla definizione di densità di corrente elettrica e alla legge di Stokes per il rotore di un campo vettoriale generico. Il risultato è che il rotore del campo B è uguale a mu_0 volte la densità di corrente. La presentazione della teoria può essere ribaltata, assumendo come nuovo principio la legge di Ampè in forma locale e mostrando, tra l'altro, che la legge di Biot-Savart per il campo prodotto da un filo di corrente rettilineo è una conseguenza della legge di Ampè, assumendo la simmetria assiale del problema. Valeva qualcosa un discorso simile per la legge di Gauss e la legge di Coulomb.

La divergenza di B e la non esistenza del monopolo magnetico
Abbiamo calcolato il flusso del campo B prodotto da un filo rettilineo di corrente attraverso una qualsiasi superficie chiusa, trovando che questo è sempre nullo. Usando il teorema di Gauss, ne segue che la divergenza di B è nulla ovunque. Possiamo generalizzare, assumendo come principio che la divergenza di B è nulla ovunque, per qualsiasi B. Abbiamo così due leggi, una per il rotore e l'altra per la divergenza, del campo magnetico, che ci permettono di calcolare univocamente il campo, assegnata la densitaà di corrente e assegnate le condizioni al contorno. Il fatto che la divergenza di B sia nulla esprime l'osservazione empirica che non esiste il monopolo magnetico, cioè un punto dal quale divergono, o sul qualche convergono, le linee di forza del campo.

Legge di Biot-Savart per fili di forma qualsiasi
La legge di Biot-Savart per il campo prodotto da un filo di corrente rettilineo e infinito può essere generalizzata al caso di un filo curvilineo qualsiasi. Formalmente si può scrivere il contributo infinitesimo dB dovuto ad un elemento infinitesimo di filo dl, ottenendo il campo totale B per integrazione sul percorso della corrente. L'espressione di dB in funzione della corrente I e della distanza dal filo, è nota anch'essa come legge di Biot-Savart. Il contenuto sperimentale della legge sta nel fatto che il campo totale B calcolato in questo modo per un filo qualsiasi è in accordo con il campo misurato.

Forza esercitata da un campo magnetico su un filo percorso da corrente
Dato un campo magnetico statico, prodotto da certe sorgenti generiche, in cui sia immerso un filo conduttore percorso da corrente, i portatori di carica nel conduttore sono soggetti alla forza di Lorentz perpendicolare alla velocità di deriva, cioè al filo stesso. Dato che i portatori rimangono confinati nel filo, l'effetto della forza di Lorentz è quello di una forza che agisce sul filo, lateralmente ad esso. Abbiamo calcolato la forza per unità di lunghezza nel caso di una corrente I e un campo B uniforme; in modulo essa è data dal prodotto IB.

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17 novembre 2005

Esperimento di Ampère e definizione di ampère
Alla luce delle leggi finora introdotte e descritte, l'esperimento di Ampère con fili paralleli è facilmente comprensibile. Se i fili sono percorsi da corrente, un filo produce un campo magnetico che induce una forza sull'altro filo, e viceversa. L'effetto è quello di attrazione o repulsione dei fili a seconda che le due correnti siano concordi o discordi. La forza per unità di lunghezza è proporzionale al prodotto delle correnti. Ciò permette anche di usare dinamometri e campioni di lunghezza per determinare la corrente che passa in un filo. Dal punto di vista operativo si può così definire un campione di corrente e un'unità fondamentale di corrente: una corrente di un ampère (A) è la corrente che fluisce in due fili paralleli posti ad una distanza di un metro quando la forza tra loro, per unità di lunghezza, è pari a 2x10^(-7) N/m. Il valore della forza è una scelta arbitraria convenzionale. Dalla definizione di ampère si deriva quella di coulomb: un coulomb è la carica che passa in un secondo in un filo percorso da una corrente di un ampère. In questo modo la costante dielettrica che compare nella legge di Coulomb non è arbitraria, ma il suo valore è l'esito di misure.

Calcolo di B prodotto da spire
Abbiamo visto alcuni esempi di campi magnetici prodotti da correnti. Abbiamo svolto il calcolo, utilizzando la legge di Biot-Savart, nel caso del campo al centro di una spira quadrata, lungo l'asse di una spira circolare e al centro di un solenoide di lunghezza L. Abbiamo anche visto che un solenoide di lunghezza infinita produce un campo magnetico diverso da zero solo all'interno del solenoide stesso, dove è uniforme, proporzionale alla corrente nelle spire e al numero di spire per unità di lunghezza. La discontinuità del campo magnetico sulla superficie del solenoide è facilmente calcolabile con la legge di Ampère per la circuitazione di B.

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21 novembre 2005

Solenoide, magneti, terra
Abbiamo disegnato qualitativamente le linee di forza del campo magnetico prodotto da un solenoide, un magnete e la terra, sicutendo le analogie. Nel caso del campo magnetico terrestre si può ragionevolmente ipotizzare l'esistenza di correnti di cariche elettriche, associate a correnti di massa all'interno della terra stessa. Le correnti di massa sono effetto della ridistribuzione di materia indotta dalla gravità (gli elementi più pesanti, metallici, scendono verso il nucleo) e sono influenzate dalla rotazione della terra attorno al suo asse. Nel caso dei magneti è più difficile proporre un modello classico, ma è plausibile che vi siano correnti su scala microscopica, il cui effetto complessivo è equivalente a quello di una corrente macroscopica superficiale, analoga alle spire di un solenoide. Su questi modelli torneremo più avanti.

Il potenziale vettore
Abbiamo riassunto le leggi dell'elettrostatica e della magnetostatica, per la divergenza e il rotore del campo elettrostatico e del campo magnetostatico. Nel caso elettrostatico poteva essere introdotta una funzione scalare, potenziale elettrico, avente un ben preciso significato fisico, utile alla soluzione di un problema generico: data una distribuzione di cariche trovare il potenziale e, da questo, il campo elettrico. Una procedura analoga può essere seguita per il campo magnetico, salvo che il punto di partenza non può essere l'irrotazionalità del campo, dato che B non è irrotazionale. Il punto di partenza stavolta è il fatto che la divergenza di B è sempre nulla. Questo permette di scrivere B come il rotore di un nuovo campo vettoriale A, detto potenziale vettore. L'equazione per il rotore di B si traduce in tre equazioni di Poisson per le componenti di A, con la la densità di corrente al posto della densità di carica e la permeabilità magnetica al posto dell'inverso della costante dielettrica, a patto di fare una particolare scelta di gauge: si scegli A tale che la sua divergenza sia nulla ovunque. Abbiamo discusso il significato formale della scelta di gauge e l'utilità del potenziale vettore A, facendo il confronto con il caso del potenziale elettrico scalare.

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23 novembre 2005

Esercizi
Esercizio sulla conducibilita' (cilindro contenente acido solforico con concentrazione non uniforme; calcolo della resistenza equivalente, dell'intensità di corrente, della potenza dissipata, ecc.).
Esercizio sulla scarica di un condensatore in un circuito che contiene resistenze e condensatori in serie e in parallelo.
Esercizio sul campo magnetico prodotto da una bobina quadrata.
Esercizio sul moto di cariche in un campo magnetico uniforme: protoni e deutoni accelerati da un campo elettrico e deviati da un campo magnetico. Cenno ad alcune applicazioni: spettrometri di massa, ciclotrone e frequenza di ciclotrone, fasce di Van Allen.

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24 novembre 2005

Esercizi
Moto di cariche in campi magnetici: effetto Hall in una lamina metallica. Esercizio sull'effetto Hall in una lamina di alluminio (calcolo della densità di elettroni di conduzione, noti il campo magnetico, la corrente che fluisce nella lamina e la differenza di potenziale trasversa dovuta all'effetto Hall).
Esercizio sul potenziale vettore: calcolo del potenziale vettore associato ad un filo rettilineo infinito percorso da corrente. Il risultato è facilmente ottenibile per analogia con il calcolo del potenziale elettrico associato ad un filo uniformemente carico (stessa equazione, stessa geometria, stesse condizioni al contorno).
Sviluppo multipolare del potenziale vettore associato ad una spira di corrente di forma qualsiasi, che occupa una regione limitata di spazio. Il potenziale asintotico, a grandi distanze dalla spira, risulta essere la somma di un termine dipolare, quadrupolare, ecc., mentre il termine di monopolo è sempre nullo. Anche in questo caso si può discutere l'analogia con lo sviluppo multipolare del potenziale elettrico.

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28 novembre 2005

Esperimenti di Faraday e correnti indotte
Due bobine avvolte sullo stesso rocchetto, una collegata ad un generatore di differenza di potenziale, l'altra ad un galvanometro. Se la corrente nel primo circuito varia nel tempo, si verifica un'induzione di corrente nel secondo. Lo stesso succede se le due bobine sono avvolte attorno ad un materiale ferromagnetico. E' la variazione del campo magnetico prodotto da una bobina a indurre la corrente nella seconda. Altro esempio: calamita che si muove in prossimità di una spira conduttrice, o spira conduttrice che si muove in prossimità della calamita. C'è corrente indotta nella spira se c'è una variazione del flusso del campo magnetico attraverso la superficie avente la spira come contorno. La variazione del flusso (e la corrente indotta di conseguenza) può essere ottenuta anche ruotando la spira in un campo magnetico uniforme.

Forza elettromotrice e legge di Lenz
Abbiamo definito la forza elettromotrice come il lavoro per unità di carica compiuto su una carica q dalle forze esterne per muovere la carica stessa lungo un circuito chiuso. Gli esperimenti con le correnti indotte sono tutti riassumibili dicendo che la forza elettromotrice indotta su un circuito è uguale a meno la derivata del flusso di B attraverso una qualsiasi superficie avente quel circuito come contorno.

Conduttori in moto in campi magnetici
Abbiamo esaminato il caso di una spira quadrata che viene trascinata a velocità costante perpendicolarmente ad un campo magnetico. Applicando la componente magnetica della forza di Lorentz, q vXB, ai portatori di carica nei quattro lati della spira, si ottiene una forza elettromotrice non nulla quando B varia nella direzione del moto. La forza elettromotrice così calcolata soddisfa la legge di Lenz per la variazione del flusso di B. Inoltre, calcolando la potenza dissipata nella spira dall'effetto Joule, si vede che questa è uguale al lavoro svolto nell'unità di tempo dalle forze (meccaniche) esterne che trascinano la spira a velocità costante, opponendosi alla forza che il campo B esercita sui lati della spira percorsa dalla corrente indotta.

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30 novembre 2005

Spira che ruota in un campo magnetico
Una spira quadrata che ruota in un campo magnetico uniforme è soggetta ad una forza elettromotrice periodica nel tempo. Abbiamo fatto il calcolo della forza elettromotrice usando il contributo magnetico alla forza di Lorentz che agisce sulle cariche di conduzione nei vari tratti della spira durante la rotazione e abbiamo visto che la forza elettromotrice è in accordo con la legge di Lenz. Abbiamo parlato delle innumerevoli applicazioni di questo tipo di induzione in bobine rotanti (dinamo, turbine, trasformazione di energia meccanica in energia elettrica, ecc.).

Spire ferme in campi magnetici variabili
Nei casi precedenti il moto dei conduttori permetteva di assegnare una velocità non nulla alle cariche libere e, di conseguenza, ottenere una forza di Lorentz magnetica non nulla e tale da indurre una forza elettromotrice consistente con la legge di Lenz. La cosa non funziona se i conduttori sono fermi nel sistema di riferimento in cui si fanno le misure. Gli esperimenti ci dicono che si ottiene ancora una forza elettromotrice quando il flusso del campo magnetico varia nel tempo. Dato che il campo magnetico non può indurre accelerazione in cariche ferme, se si vuole continuare a credere nella forza di Lorentz come definizione operativa dei campi elettrico e magnetico allora si deve concludere che la forza elettromotrice osservata è dovuta ad un campo elettrico. Abbiamo visto come tale campo sia necessariamente rotazionale, a differenza di quello elettrostatico irrotazionale. Per rendere conto della legge di Lenz, è necessario assumere che il rotore di E sia uguale a meno la derivata temporale di B. Questa legge si traduce nella condizione di irrotazionalità del campo nel caso statico, in cui i campi non dipendono dal tempo. La nuova legge per i rotore del campo elettrico è nota come legge di Faraday.

La legge di Ampère-Maxwell
Abbiamo scritto le 4 leggi note per il rotore e la divergenza dei due campi E e B. Manca qualcosa. Nel vuoto, in assenza di carihe e correnti, le due equazioni per il rotore di E e di B sono visibilmente asimmetriche. Si sarebbe indotti ad aggiungere alla legge di Ampère per il rotore di B un nuovo termine proporzionale alla derivata rispetto al tempo del campo elettrico. Tale aggiunta è giustificata a maggior ragione da una evidente inconsistenza tra l'equazione di Ampère e la conservazione dellacarica, espressa dalla legge di continuità Seguendo il ragionamento di Maxwell, abbiamo visto che l'inconsistenza svanisce se si aggiunge alla densita' di corrente di carica j nell'equazione di Ampère una "corrente" aggiuntiva, pari a epsilon_0 volte la derivata nel tempo del campo elettrico. Maxwell chiamò questo termine corrente si spostamento.

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1 dicembre 2005

Equazioni di Maxwell
Le 4 equazioni per la divergenza e il rotore di E e B, inclusa la nuova versione della legge di Ampère-Maxwell, si chiamano equazioni di Maxwell. Assieme alla forza di Lorentz, che definisce operativamente E e B, alla conservazione della carica e al principio di sovrapposizione, le equazioni di Maxwell sono tutto quanto serve per spiegare tutti i fenomeni dell'elettromagnetismo classico. Abbiamo commentato il ruolo complementare dell'aspetto teorico-concettuale e degli esperimenti nella formulazione della teoria.

Corrente di spostamento
Il termine aggiuntivo nell'equazione di Ampère-Maxwell può essere visto come una corrente aggiuntiva. Non si tratta di una corrente di cariche vera e propria. Abbiamo visto la forma di questo campo di corrente di spostamento in due casi: un flusso isotropo di cariche inizialmente concentrate al centro di una sfera, e la carica di un condensatore.

Equazione delle onde per E e B nel vuoto
Abbiamo riscritto le equazioni di Maxwell nel vuoto (densità di carica e densitaà di corrente nulle). Le stesse possono essere riscritte come due equazioni differenziali disaccoppiate per i campi E e B. Tali equazioni hanno la forma di equazioni delle onde. Esse ammettono soluzioni corrispondenti a campi oscillanti nel tempo e nello spazio. Queste soluzioni sono le onde elettromagnetiche.

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5 dicembre 2005

Onde piane monocromatiche e polarizzate
Abbiamo trovato una soluzione particolare delle equazioni di Maxwell nel vuoto, corrispondente ad un'onda piana monocromatica (un'unica lunghezza d'onda) con polarizzazione lineare lungo y (il campo elettrico oscilla rimanendo orientato lungo l'asse y) che propaga alla velocita' c = 1/sqrt(mu_0 epsilon_0). Il campo elettrico e il campo magnetico sono perpendicolari tra loro ed entrambi sono perpendicolari alla direzione di propagazione dell'onda. L'ampiezza dell'oscillazione del campo elettrico e' c volte l'ampiezza di oscillazione del campo magnetico.

Onde elettromagnetiche
Altre soluzioni possibili delle equazioni di Maxwell nel vuoto corrispondono ad onde piane con diversa polarizzazione (lineare o circolare), oppure onde sferiche. Le onde si propagano sempre a velocita' c. Se si stima c a partire dalla definizione di ampere (che fissa convenzionalmente il valore di mu_0) e dal valore di epsilon_0 misurato tramite la forza di Coulomb, la velocita' c che si ottiene e' compatibile con le misure sperimentali della velocita' di propagazione della luce. Questo risultato non dipende dal sistema di unita' di misura utilizzato per le grandezze in gioco. Questo ragionamento, fatto gia' da Maxwell sulla base delle misure dell'epoca, porta a congetturare che la luce sia essa stessa un tipo di onde elettromagnetiche (quelle in un certo intervallo di lunghezze d'onda). Abbiamo commentato sull'importanza delle predizioni di Maxwell in termini di "unificazione" di concetti fisici: magnetismo, elettricita', ottica.

Equazioni per i potenziali scalare e vettore
Le equazioni di Maxwell complete per i campi elettrico e magnetico contengono cariche e correnti. Per ottenere una riformulazione in termini di equazioni disaccoppiate si puo' ricorrere alla definizione dei potenziali scalare e vettore, generalizzando quanto fatto in elettrostatica e in magnetostatica. Dato che la divergenza di B e' ancora nulla, come nel caso magnetostatico, possiamo introdurre il potenziale vettore A tale che B sia il rotore di A. Invece, il campo E non e' piu' irrotazionale e, quindi, si dovra' modificare la definizione del potenziale elettrico scalare. Usando la legge di Faraday abbiamo visto che il nuovo campo irrotazionale e' dato dalla somma di E e della derivata di A rispetto al tempo. Abbiamo definito il nuovo potenziale scalare quello il cui gradiente, preso con il segno meno, coincide con questo campo irrotazionale. Poi abbiamo riscritto la legge di Gauss e la legge di Ampere-Maxwell con queste definizioni di potenziale scalare e vettore. Se si fa un'opportuna scelta di gauge (gauge di Lorentz) le due equazioni che si ottengono sono disaccoppiate: quella per il potenziale scalare contiene la densita' di carica rho, mentre quella per il potenziale vettore contiene la densita' di corrente j. Le due equazioni differenziali, assieme alle due definizioni dei potenziali in termini dei campi E e B, sono equivalento alle 4 equazioni di Maxwell. Il vantaggio e' che e' piu' facile trovare le soluzioni delle equazioni per i potenziali. Per una distribuzione di cariche e di correnti in una regione limitata dello spazio, assumendo nulli i potenziali all'infinito, la soluzione gnerale per i potenziali puo' essere scritta in forma esplicita, come integrali sulla distribuzione di cariche e correnti. In tali integrali, simili al caso elettrostatico e magnetostatico, appare pero' un effetto di "ritardo": ad una distanza r, la variazione di rho e j e' sentita con un ritardo pari a r/c. Si parla allora di "potenziali ritardati".

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7 dicembre 2005

Mutua induzione e autoinduzione
Coefficiente di mutua induzione per due circuiti accoppiati. Teorema di reciprocità. Esempio di mutua induzione tra due spire circolari complanari. Coefficiente di auto-induzione (induttanza) di un circuito. Esempio di un solenoide. Accensione e spegnimento di corrente in un circuito con elementi induttivi.

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12 dicembre 2005

Circuiti oscillanti e risonanti
Circuito oscillante con condensatore e impedenza. Correnti alternate. Reattanza resistiva, capacitiva e induttiva. Circuito risonante RLC serie.

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14 dicembre 2005

Esercizi
Esercizi su mutua induzione e autoinduzione. Solenoidi, trasformatori. Correnti parassite. Induttanza di un solenoide toroidale e di un cavo coassiale.

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15 dicembre 2005

Esercizi e vettore di Poynting
Esercizio su conduttore in movimento in un campo magnetico. Esercizio su un circuito RL. Energia dei campi e delle cariche. Calcolo del bilancio energetico di un volume V con cariche e campi. Definizione del vettore di Poynting. Vettore di Poynting nel caso di onde elettromagnetiche piane.

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19 dicembre 2005

Momento magnetico e magnetismo nella materia
Momento magnetico di una spira di corrente. Energia di una spira in un campo magnetico. Analogie con il momento di dipolo elettrico. Sostanze magnetiche: diamagneti, paramagneti, ferromagneti. Fenomenologia. Modello della materia in termini di momenti magnetici su scala microscopica.

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21 dicembre 2005

Magnetismo nella materia
Densita' di magnetizzazione. Corrente di magnetizzazione. Equivalenza tra un cilindro magnetizzato e un solenoide. Analogie con la polarizzazione elettrica dei dielettrici. Modello classico per il momento magnetico di un atomo. Modello classico per il comportamento diamagnetico. Forza subita da una sostanza magnetica in un campo magnetico non uniforme.

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22 dicembre 2005

Il campo H e il ferromagnetismo
Legge di Ampere-Maxwell nella materia. Definizione del campo H legato alle correnti di cariche libere. Analogia con il vettore D dei dielettrici. Equazioni di Maxwell nella materia. Permeabilita' magnetica relativa. Relazione tra B e H. Ciclo di isteresi per una sostanza ferromagnetica. Domini magnetici e meccanismi di magnetizzazione. Sintesi finale del corso.

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