Urti microscopici e pressione

Il fenomeno macroscopico della pressione (forza per unità di superficie) deriva dagli urti microscopici delle molecole del gas conto le pareti del recipiente. Per dimostrare questa affermazione assumiamo senza ledere le generalità del caso che il contenitore sia un cubo di lato $\ell$.

Quando una molecola collide con una parete $c$ del recipiente e rimbalza (ricordiamo che gli urti sono elastici), essa trasferisce alla parete una quantità di moto in modulo pari a $\Delta q_i=2m\vert v_{ci}\vert$, poichè la componente $c$ della velocità $\vec{v}_i$ cambia segno. Il rimbalzo successivo contro questa parete avverrà dopo un tempo pari a quello necessario a percorrere due volte il contenitore ad una velocità pari a $v_{ci}$, cioè dopo $\Delta T_i=2\ell/\vert v_{ci}\vert$.

Su ogni parete viene esercitata dunque da ogni molecola una forza media pari a $\ensuremath{\left\langle \Delta q_i / \Delta T_i \right\rangle}$. Sommando tutte le molecole otteniamo la forza media esercitata su di una parete dal gas:

$$\ensuremath{\left\langle F \right\rangle} = \sum_i \ensurem... ...gle v^2_{\scriptscriptstyle qm} \right\rangle}\xspace }{3\ell}$$

dove negli ultimi due passaggi è stata sostituita l'espressione di $v_{ci}^2$ in termini della velocità quadratica media, ed è stato usato il fatto che le quantità medie non dipendono dall'indice delle particelle. Dalla forza media si ricava immediatamente la pressione dividendo per la superficie della parete (che nel nostro caso è $\ell^2$):

$$P = \frac{Nm \ensuremath{\left\langle v^2_{\scriptscriptsty... ...left\langle v^2_{\scriptscriptstyle qm} \right\rangle}\xspace$$

dove abbiamo riconosciuto che $\ell^3=V$, ed abbiamo sostituito $N/V$ con la densità numerica media di molecole $\rho$ (che, come già detto, deve essere uniforme). Abbiamo quindi ricavato l'espressione di una quantità macroscopica, la pressione $P$, in termini di una proprietà microscopica, la velocità quadratica media.